线性代数作业15班级 姓名 学号 习题6.2 、试用不同的方法判定下列三元二次型的正,负定性 1.f=-2x-6-4x3+2x1x2+2x1x2; 的是A示),放五A:即,0=33一M+A一显A平 =0(A 今,(0)=且弹 全的去,=A.,1==面是,0=( 2.∫=x++2x3+2x1x2+2x2x3; A)即面,利续国个一3,宝
3.f=3x+3x+3+2xx2+2x1x3-2x2x3一某()能( 其, ,8+1+十B=(,,)量二 )公,0=2A算,量向民三一果,实三个一 不土(0 DIALOX 0<k1(B) 0=|A.(A) 非的去(B (,…,,=4)五状发干( =(A)(0) 两宝五式AO )AA限,家五确且,实角最.A 质五(B) 回合 二、填空题 1.二次型f(x1,x2,x2)=-4x1x2+2x1x2+2x2x3的矩阵是 该二次型的秩为 2-1 2已知二次型的系数矩阵为-104,那么它相对应的二次型fx,x,x)= 中上34三一最 零干大器孙 3若二次型f(x1,x2,x1)=x2+4x2+2x+2x1x2+2x1x3是正定的,那么t应满足不 等式 11,), 4A=1k1|是负定矩阵;,则k满足条件 AA十3= 5.实二次型f(x1,x2,x3)=x-a+3的秩为 ,正惯性指数为 负惯性指数为 6若实对称矩阵A与B=0-12合同则实二次型xAX的规范形为 三、选择题 1.实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX为正定的充分必要条件是() (A)|A|>0 (B)存在n阶可逆矩阵C,使A=CC
(C负惯性指数为零(D)对某一X=(x1,x2…,xn)≠0,XAX>0. 2实二次型f(x1,x2,x3)=x2+2xx2+tx+3z,当t=()时,其秩为2 (A)0 (C)2 (D)3 3设A是一个三阶实矩阵如果对任一三维列向量x,都有XAx=0,那么() (A)A=0 (B)|A|>0 (C)|A|<0 (D)以上都不对 4.n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是(). (A)所有k级子式为正(k=1,2,…,n) (B)A的所有特征值非负 (OA为正定矩阵 (D)秩(A)=n. 5.A、B都是n阶实对称矩阵,且都正定,那么AB是(). (A)实对称矩阵 (B)正定矩阵 (C)可逆矩阵 (D)正交矩阵 00 6.在下列矩阵中与A=002合同的矩阵是() (B)2 (D) 7.若方阵A正定,则下列不一定成立的结论是 (A)A·是正定阵; (B)A1是正定阵;(CAA是正定阵(其中k为实数); (D)A的特征值都大于零 下8若A,B是n阶方阵,则下列不成立的结论是 (A)A,B是可逆阵,则A+B必是可逆阵; (B)A,B是对称阵,则A+B必是对称阵; (OA,B是正交阵,则AB必是正交阵;(D)A,B是正定阵,则A+B必是正定阵 四、设A为mXn实矩阵,B=AE+AA,证明:当k>0时,B是正定矩阵 的望方二其,同合
五、已知A是n阶正定矩阵证明:|A+E|>1. 0 ,为二三民汽的同不 六、已知实对称矩阵A满足A3-4A2+5A-2E=O,证明:A是正定矩阵。(提示:设A是A的 特征值且A=a(a≠0),令f(x)=x2-4x2+5x-2,则f(A)a=f(A)a.由fA)=O知 f(A)=0,从而可得A1=A2=1,k1=2,即A的特征值全大于零) 七、若A是一个正定矩阵,而C是一个实可逆矩阵,证明:CAC是正定矩阵