西安交通大学：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 拉普拉斯变换

第三章拉普拉斯变换 本章要点 拉氏变换的定义—从傅立叶变换到拉氏 变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质,收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应

1 第三章 拉普拉斯变换 本章要点 •拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换 •拉氏变换与傅氏变换的关系 •拉氏变换的性质，收敛域 •卷积定理(S域) •系统函数和单位冲激响应

第六章拉普拉斯变换 60引言 第四章已经讨论过复指数信号e“是LTI系统的特征函数s=a+j2,并对 s=Ω的情况进行了研究,即傅立叶分析。本章对更一般的情况(s=σ+j) 进行讨论。 6.1双边拉氏变换。 如果系统冲激响应为h(t),则对e产生的响应为 st y(t )=H(S h(t) H(s)=MOkb→M(的双边拉氏变换。 y()=e"*h(1)=h(r)e s(t-T dr e" h(r)edr 2

2 第六章 拉普拉斯变换 6.0 引言 第四章已经讨论过复指数信号 st e 是 LTI 系统的特征函数s    j ，并对 s  j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s    j ） 进行讨论。 6.1 双边拉氏变换。 如果系统冲激响应为(t)，则对 st e 产生的响应为 st y(t)  H (s)e H(s) (t)e dt (t) st        的双边拉氏变换。 st e h(t) y(t)                  e h e d y t e h t h e d st s st s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

般地,对于信号x()有 X(S)=x()e"dt rx0×= edtX(o)=「x(t)eo FIx(t)e 表明X(s)就是对x(e所做的傅立叶变换。由于e的引入,就 可以通过适当选择σ,使原来傅立叶变换不收敛的信号,其拉氏变换 存在。因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强,应用范围更广它是傅 立叶变换地推广

3 一般地，对于信号 x(t)有 X s x t e dt st   ( )  ( ) x t e e dt  t  jt     ( ) [ ( ) ] t F x t e   表明 x(s) 就是对 t x t e  ( ) 能作地傅立叶变换。由于 t e  的引入，就 可以通过适当选择 ，使原来傅立叶变换不收敛的信号，其拉氏变换 存在。因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅 立叶变换地推广。 X x t e dt j t      () ( ) 所做的 广 X (s)

如果X(在s=收敛,则即s可以取n X(A)=[x(emdm是x的付里叶变换 X(9)=X(S)表明傅立叶变换是位氏变换在Q轴上的特例 由傅立叶反变换得到拉斯反变换 x(S)=1xe1x(t)e即为Y(s)的付里叶反变换 x(t)e X￥(+j()g X(o+jQ2) 2 jQ2 dQ2=-ds X(s)e" ds 27g

4 如果 x(s) 在s  j收敛，则 即 s 可以取 j X j X t e dt  jt   ( )  ( ) 是 x(t)的拉氏变换      s j X ( j ) X (s) 表明傅立叶变换氏拉氏变换在 j轴上的特例 由傅立叶反变换得到拉斯反变换 ( ) [ ( ) ] t X S F x t e   x(t)e X (S) t的反变换即为          x t e X j e d t j t ( ) 2 1 ( )       x t  X  j  e e d t j t   ( ) 2 1 ( ) s   j ds j d 1  X s e ds j st j  j         ( ) 2 1 付里叶变换 x(t)e t即为X (s)的付里叶反变换 X (s) x t e dt  jt ( ) 是

X(s)=|x()e x(t) 1+x(s e as 2

5    X s  x t e dt st ( ) ( ) X s e ds j x t j j st          ( ) 2 1 ( )