F=0,M=0 ∑F=0 解析式为:{2F=0 即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是:力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上 投影的代数和等于零,力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零 M 2)二力矩式 M ∑F=0 且x轴不垂直于A、B两点连线。 证明:必要性,若平面力系平衡,则F=0,Mo=0易知成立。 充分性:反证法,假定成立,而力系不平衡,则由前两式知力系不能简化为合力偶,所以必 为一合力,且此合力必过A,B两点,由∑F=0知此合力必垂直于x轴,与已知矛盾, 所以(411)成立,必有力系平衡。 3)三力矩式SMn(问)=0 (4.12) ∑MGF)=0 且A、B、C不共线 2)例:平面平行力系的平衡方程 基本形式: ∑F=0 (4.13) 二力矩式: MA 4.14 例1:图(a)所示结构中,AC,D三处均为铰链约束。横杆AB在B处承受集中载荷F 结构各部分尺寸均示于图中,若已知F和/,试求撑杆CD的受力以及A处的约束力 D 解:研究对象:ACB杆
F = 0 ， M0 = 0 解析式为： = = = 0 0 0 O iy ix M F F 即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上 投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。 2）二力矩式 ( ) ( ) = = = 0 0 0 ix B i A i F M F M F 且 x 轴不垂直于 A 、 B 两点连线。 证明：必要性，若平面力系平衡，则 F = 0 ， MO = 0 易知成立。 充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必 为一合力，且此合力必过 A ， B 两点，由 Fix = 0 知此合力必垂直于 x 轴，与已知矛盾， 所以(4.11)成立，必有力系平衡。 3）三力矩式 ( ) ( ) ( ) = = = 0 0 0 C i B i A i M F M F M F (4.12) 且 A 、 B 、C 不共线 2）例：平面平行力系的平衡方程。 基本形式： ( ) = = 0 0 O i iy M F F (4.13) 二力矩式： ( ) ( ) = = 0 0 B i A i M F M F (4.14) 例 1：图 (a) 所示结构中， A,C, D 三处均为铰链约束。横杆 AB 在 B 处承受集中载荷 F1 ， 结构各部分尺寸均示于图中，若已知 F1 和 l ，试求撑杆 CD 的受力以及 A 处的约束力。 2 l F1 2 l 2 l A C B D 45 FAX FAY F1 FBC 解：研究对象： ACB 杆
1.受力分析:易知CD是二力杆,所以点C受力如图 2.列平衡方程求解: 3.研究对象:ACB杆 4.受力分析:易知CD是二力杆,所以点C受力如图 5.列平衡方程求解 (1)基本方程 ∑F=0Fx+FB ∑F=0F,+FCsn45°-F ∑M、G)=0Fm·sm43.4-F,1=0 Fn=2√2F 可得{F FI F,=-F (2)三力矩式 ∑M,G)=0Fmsm45-F ∑M(F ∑MG)=0-Fn F1·=0 √2F 可得{FA=-2F FAy=-F 例2:如图(a)所示,水平梁AB受到一分布载荷和一力偶作用,已知q、M、l不计梁自 重,求支座A,B的反力 解:1、研究对象:AB梁 2、受力分析:如图(b) 3、列方程求解: ∑Fn=0Fx+F:cos30°=0
1．受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 2．列平衡方程求解： 3．研究对象： ACB 杆 4．受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 5．列平衡方程求解： （1）基本方程： Fix = 0 FAx + FBC cos 45 = 0 Fiy = 0 FAy + FBC sin 45 − F1 = 0 M A (Fi) = 0 0 2 sin 45 − F1 l = l FBC 可得 = − = − = 1 1 1 2 2 2 F F F F F F Ay Ax BC （2）三力矩式： M A (Fi) = 0 0 2 sin 45 − F1 l = l FBC M B (Fi) = 0 0 2 2 − − 1 = l F l FAy MC (Fi) = 0 0 2 − − F1 l = l FAx 可得 = − = − = 1 1 1 2 2 2 F F F F F F Ay Ax BC 例 2：如图 (a) 所示，水平梁 AB 受到一分布载荷和一力偶作用，已知 0 q 、M 、l 不计梁自 重， 求支座 A, B 的反力。 A B q M 30 A B FAX FAY M 30FB 3 2 L 2 1 q L 解：1、研究对象： AB 梁 2、受力分析：如图 (b) 3、列方程求解： Fix = 0 FAx + FB cos30 = 0