西北农林科技大学：《食品试验设计优化》课程教学资源（PPT课件）第十二章 回归设计

12.2.2 数据分析 在一次回归的正交设计中记第i号试验结果为yi，i=1,2,.,n， 此时我们假定的模型是 我们要建立y关于 的一次回归方程 可采用回归分析中的最小二乘估计去估计各个回归系数，并 对回归方程及回归系数进行显著性检验，最后给出回归方程。 在一次回归的正交设计中有关计算十分简单，可以用列表的方 法完成。     = + + = ~ (0, ) 1,2, , 2 0      N y x i n i i j i j i j 各 相互独立同分布 ，  p z ,z , ,z 1 2  = + j j j y b b z 0 ˆ

12.2.2 数据分析 在一次回归的正交设计中记第i号试验结果为yi，i=1,2,.,n， 此时我们假定的模型是 我们要建立y关于 的一次回归方程 可采用回归分析中的最小二乘估计去估计各个回归系数，并 对回归方程及回归系数进行显著性检验，最后给出回归方程。 在一次回归的正交设计中有关计算十分简单，可以用列表的方 法完成。     = + + = ~ (0, ) 1,2, , 2 0      N y x i n i i j i j i j 各 相互独立同分布 ，  p z ,z , ,z 1 2  = + j j j y b b z 0 ˆ

1.求回归系数的估计 用最小二乘估计求回归系数的估计。 结构矩阵               = n np p p x x x x x x X        1 21 2 11 1 1 1 1 由于X中的元素不是1就是-1，所以每列元素的平方和为n， 又考虑到此为正交设计，故正规方程组的系数矩阵为对角阵：               =  = n n n A X X        0 0 0 0 0 0

1.求回归系数的估计 用最小二乘估计求回归系数的估计。 结构矩阵               = n np p p x x x x x x X        1 21 2 11 1 1 1 1 由于X中的元素不是1就是-1，所以每列元素的平方和为n， 又考虑到此为正交设计，故正规方程组的系数矩阵为对角阵：               =  = n n n A X X        0 0 0 0 0 0

从而               =  = − n n n C X X 0 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0 0 ( ) 1        又记 B = X Y = (B0 B1  Bp )  ，其中 B y ny B x y j p n i j i j i n i i 1,2, , 1 1 0 =  = =  =  = = ， ， 那么回归系数的最小二乘估计为 ( )          =   = − n B n B b X X X Y y p 1  1 即 j n n B b y b j j 1,2, , 0 = ， = ， =  由于C是对角阵，所以各回归系数间不相关。这将为回归 方程与系数的检验带来方便，并且在删除变量后回归系数 不需重新计算。具体计算可以列表进行（见表12.2.2）

从而               =  = − n n n C X X 0 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0 0 ( ) 1        又记 B = X Y = (B0 B1  Bp )  ，其中 B y ny B x y j p n i j i j i n i i 1,2, , 1 1 0 =  = =  =  = = ， ， 那么回归系数的最小二乘估计为 ( )          =   = − n B n B b X X X Y y p 1  1 即 j n n B b y b j j 1,2, , 0 = ， = ， =  由于C是对角阵，所以各回归系数间不相关。这将为回归 方程与系数的检验带来方便，并且在删除变量后回归系数 不需重新计算。具体计算可以列表进行（见表12.2.2）

2．回归方程的显著性检验 对回归方程的显著性检验的统计量是 其中 考虑到 ，故 具体计算与检验见表12.2.3与表12.2.4。 E E R R S f S f F / / = 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 2 = − − = − − − − = − − − = − − − −   = = f n p y ny b B b B S b B b B S y b B b B b B E p p T p p n i i p p n i E i   ，  SE = ST − SR SR = b1 B1 + b2 B2 ++ bp Bp ， f R = p

2．回归方程的显著性检验 对回归方程的显著性检验的统计量是 其中 考虑到 ，故 具体计算与检验见表12.2.3与表12.2.4。 E E R R S f S f F / / = 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 2 = − − = − − − − = − − − = − − − −   = = f n p y ny b B b B S b B b B S y b B b B b B E p p T p p n i i p p n i E i   ，  SE = ST − SR SR = b1 B1 + b2 B2 ++ bp Bp ， f R = p

3．回归系数的显著性检验 可以采用统计量 检验 是否为零。 其分母是 的无偏估计 分子是 的偏回归平方和，记为 那么 注意到回归平方和的计算公式，有 具体计算与检验见表12.2.3与表12.2.4。 2 2 ˆ /  j jj j b c F =  j 2  j x j S S j bj / c j j bj Bj j 1,2, , p = 2 = ， =  S R = S1 + S2 ++ S p

3．回归系数的显著性检验 可以采用统计量 检验 是否为零。 其分母是 的无偏估计 分子是 的偏回归平方和，记为 那么 注意到回归平方和的计算公式，有 具体计算与检验见表12.2.3与表12.2.4。 2 2 ˆ /  j jj j b c F =  j 2  j x j S S j bj / c j j bj Bj j 1,2, , p = 2 = ， =  S R = S1 + S2 ++ S p