d2u(r) m(m+Da n(n+1)b m(m+D)a,n- (28) 由式(28)可知,n>m,表明随距离的增大,排斥力要比吸引力更快地衰减,故排斥 力是短程作用力 在r附近,无论什么原因使得原子间距增大或缩小,晶体的内能都会增大,即晶体 的内能在r=r处具有最小值U,其值为负值。表明当各个孤立的原子结合为晶体并到 达平衡状态时,晶体的能量将下降|U|,这就是晶体平衡状态的结合能。U越大,相 应的晶体也越稳定。原子间的平衡距离r与晶格常数有关,而原子间最大吸引力与晶体 的抗张强度有关。 排斥力 总合力 平衡间距 引吸力 图24原子的互作用势能u和原子互作用力∫与原子间距r的关系 212晶体结合能的性质 晶体结合能计算的经典方法是将晶体总的互作用势能视为原子间的互作用势能之 和,所以先计算两个原子之间的互作用势能,然后再考虑晶格结构的因素,综合起来就 可以求得晶体的总势能。 假设已知晶体中任意两原子的互作用势能为(r),则由N个原子组成的晶体总的结 合能函数为 U(r)=2∑"v(),(≠ (29) 2了了 式中引入因子是由于(n)与(m)是同一个互作用势能被计算了两次。 因为晶体内部的原子比表面的原子有更多相互作用的近邻原子,所以两种原子对晶 体结合能的贡献有差别,但由于表面层原子的数目比晶体内部的原子数目少得多,所以 可以认为所有的原子都是相同的,因此(29)式可以进一步简化为
) 1 ( )1()1()1()( 2 0 2 0 2 0 2 2 0 + −+ = + + + −= + + + = m mn r amm r bnn r amm dr rud m n m rr >0 （2.8） 由式(2.8)可知，n>m，表明随距离的增大，排斥力要比吸引力更快地衰减，故排斥 力是短程作用力。 在r0附近，无论什么原因使得原子间距增大或缩小，晶体的内能都会增大，即晶体 的内能在r＝ r0处具有最小值Uc，其值为负值。表明当各个孤立的原子结合为晶体并到 达平衡状态时，晶体的能量将下降 Uc ，这就是晶体平衡状态的结合能。 Uc 越大，相 应的晶体也越稳定。原子间的平衡距离r0与晶格常数有关，而原子间最大吸引力与晶体 的抗张强度有关。 图 2.4 原子的互作用势能 u 和原子互作用力 f 与原子间距 r 的关系。 2.1.2 晶体结合能的性质 晶体结合能计算的经典方法是将晶体总的互作用势能视为原子间的互作用势能之 和，所以先计算两个原子之间的互作用势能，然后再考虑晶格结构的因素，综合起来就 可以求得晶体的总势能。 假设已知晶体中任意两原子的互作用势能为u(rij)，则由N个原子组成的晶体总的结 合能函数为 )( , )( 2 1 rU )( ij jiru N j N i ∑= ∑′ ≠ （2.9） 式中引入 2 1 因子是由于u(rij)与u(rji)是同一个互作用势能被计算了两次。 因为晶体内部的原子比表面的原子有更多相互作用的近邻原子，所以两种原子对晶 体结合能的贡献有差别，但由于表面层原子的数目比晶体内部的原子数目少得多，所以 可以认为所有的原子都是相同的，因此（2.9）式可以进一步简化为： 6
()=∑u(1)(≠1,j=2 (2.10) 如果已知结合能函数的形式,可以计算体积弹性模量、抗张强度等晶体宏观性质 下面就以三维晶格为例进行推导。 设在体积V内有N个原胞(或原子,每个原胞的体积是v,应与成正比:又令 U代表N个原胞总的结合能,而硎(ν)代表晶格中每个原胞的平均势能,则 U=Nu(v) 这里B是与晶体的几何结构有关的参数(对于简立方的简单格子,β=1;对于面 心立方的简单格子,B=√2/2:对于体心立方的简单格子,B=43/9)。 由热力学,晶体的体积弹性模量K的定义为 K=-vGr 式中V为晶体的体积,P为压力,T为温度。压力P与晶体的内能U有下面的关系: au a0 a1 (2.14) av ar av 所以,晶体的体积弹性模量可以表示为 K=vr (2.15) 由式(29)和(2.12),可得平衡状态时的晶体的体积弹性模量为 (2.16) 9N·B·0 晶体能承受的最大张力叫抗张强度。显然这最大张力就相应于晶格中原胞间的最大 引力,即: vm由下式决定 0 (2.18) 晶体的内能越大,相应的晶体也越稳定,原子间的相互作用越大。要使它们分开将 需要更大的能量。由此可见,晶体内能较大的晶体,只有在较高的温度下才能转化为液
).( 2 )( 1 j j ru N rU = ∑′ （j≠1，j = 2、3、…、N） （2.10） 如果已知结合能函数的形式，可以计算体积弹性模量、抗张强度等晶体宏观性质。 下面就以三维晶格为例进行推导。 设在体积 V 内有 N 个原胞（或原子），每个原胞的体积是 v，应与 成正比；又令 U 代表 N 个原胞总的结合能，而 u(v)代表晶格中每个原胞的平均势能，则 3 0r = vNuU )( (2.11) 3 0 NNvV β⋅⋅== r (2.12) 这里β是与晶体的几何结构有关的参数（对于简立方的简单格子， β =1；对于面 心立方的简单格子， β = 2/2 ；对于体心立方的简单格子， β = 9/34 ）。 由热力学，晶体的体积弹性模量 K 的定义为： T V P VK )(∂ ∂ −= （2.13） 式中 V 为晶体的体积，P 为压力，T 为温度。压力 P 与晶体的内能 U 有下面的关系： V r r U V U P ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= （2.14） 所以，晶体的体积弹性模量可以表示为： 2 2 2 2 2 ))(( )( V r r U V V U VK ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = （2.15） 由式（2.9）和（2.12），可得平衡状态时的晶体的体积弹性模量为： 0 )( 9 1 2 2 0 rr r U rN K = ∂ ∂ ⋅⋅ = β （2.16） 晶体能承受的最大张力叫抗张强度。显然这最大张力就相应于晶格中原胞间的最大 引力，即： vm v u P )( ∂ ∂ =− (2.17) vm由下式决定： 0 2 2 = ∂ ∂ vm v u （2.18） 晶体的内能越大，相应的晶体也越稳定，原子间的相互作用越大。要使它们分开将 需要更大的能量。由此可见，晶体内能较大的晶体，只有在较高的温度下才能转化为液 7