第7章 MATLAB解方程与函数极值 7,1线性方程组求解 7,2非线性方程数值求解 73常微分方程初值问题的数值解法 7.4函数极值
第7章 MATLAB解方程与函数极值 7.1 线性方程组求解 7.2 非线性方程数值求解 7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.4 函数极值
71线性方程组求解 7.1.1直接解法 利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组4x=b,可以利用左除运算符“V求解: X=A\b
7.1 线性方程组求解 7.1.1 直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b
例7-1用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下: A=[2,1,5,1;1,5,0,7;0,2,1,1;1,6,-1,4; b=13,-9,6,0’; XA\b
例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b
2.利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解,以及 Schur分解、 Hessenberg分解、奇异 分解等
2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异 分解等
(1)LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明,只 要方阵A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的l函数用于对矩阵进行LU分解,其调用格 式为: LU=u(X:产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L行交换),使之满足X=LU。注意,这里的矩阵X必须 是方阵。 ILU,Pl=u(X:产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 个置换矩阵P,使之满足PX 当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=ULb)或 x=ULPb),这样可以大大提高运算速度
(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只 要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格 式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度