第二节半无限大地层平面一维不稳定渗流 将式(4-5)、式(4-6)代入方程(4-1)中,得: dp+2t dt de 经过变换,描述渗流规律的偏微分方程(4-1)转化成 了常微分方程(4-7),其相应的初始条件和边界条件也可转 化成如下形式: - p pl-p 将(4-7)降阶,即令U=ch/d5 (4-8 则(4-7)变为 du +25U=0 其解为U=Ce 4-9)
第二节半无限大地层平面一维不稳定渗流 将它代入式(48)中得: (4-10) 将上式分离变量积分,5从0→∞,p从Pm→p,则 p-p=cie ds (4-11) 由于ed5=y,所以 C1==(P-P)
第二节半无限大地层平面一维不稳定渗流 如果将ξ的积分区间由0→∞改为→∞,则对方程 (410)分离变量积分可得: p(x)=C∫eal 2(P-p) d (p-p)1-F5e-sd5 式中=c45称为误差函数或概率积分,令 √ 6e-d5 因为0≤e/ x∠1 所以地层任一点内任一时刻的压力值满足:
第二节半无限大地层平面一维不稳定渗流 P-p(x)=(p-P,)-=e/x (4-12 误差函数(27的值随着7的变化而变化。间以展 开成以下级数形式 ef(z)=-=( 1!32153!7 ∑(-1) n!(2n+1) 根据上式不难编一计算程序,用计算机求得c()值 (P186)。可以证明淏差函数的值随着z值的增大而增 大
第二节半无限大地层平面一维不稳定渗流 由式(4-12)还可以求出地层内任一时刻任一位置处 流体渗流速度的大小。将式(4-12)两边对x求偏导数可得: oX 而在出口处有=PP) An 出口处的产量为 K O KA(p-p 令1=√m,可以认为它是压力波及的范围。很明显,上式 与液体作平面一维稳定渗流时的产量公式是相类似的,只不过 这里的是个变量罢了