§3-8控制系统的稳定误差 稳态误差和误差传递函数 1.误差的定义:被控量的希望值和实际值之差.即 e(t)=co()-c() t→时的(称为稳态误差用e表示即 =lim &(t) 2.误差与偏差的关系 1>单位反馈系统 co(=r( e= lim elt= lim t→ t→∞ 非单位反馈系统 (t)≠e(t) E(S=R(S)B(S)=H(SCo()-H(sC(s) H(sE(s) ∵用偏差代替误差进行研究,即 es=lim e(t)=lim(/()-b() 或en,=lmne()=imsE(s) 3.误差传递函数 般系统 E()= 1+G(s)H(s) R(s) R( E() (S)=R)1+(A()→误差传递函数 R(s 3-90 1+G(SH(s e与输入R(s)及开环传递函数G()H()关 4.系统按稳态误差划分的型 设系统开环传递函数为 G(SH(s) K(z;+1)z2s+1)…(zns+1) s"(1s+1)(Z2+1)(s+1) ()H(s)/() S l s→01+G
§3-8 控制系统的稳定误差 一.稳态误差和误差传递函数. 1.误差的定义: 被控量的希望值和实际值之差.即 (t) = c (t)−c(t) 0 t → 时的 (t)称为稳态误差,用ess表示.即 e (t) t ss → = lim 2.误差与偏差的关系. <1>单位反馈系统 ( ) ( ) ( ) ( ) e e(t) r(t) c(t) t e t c t r t t t s s = = − = = → → lim lim 0 <2>. 非单位反馈系统 ( ) ( ) E(s) R(s) B(s) H(s)C (s) H(s)C(s) t e t = − = − 0 = H(s)(s) 用偏差代替误差进行研究，即 ( ) ( ) ( ) e e(t) sE(s) e e t r t b t t s ss t t ss 0 lim lim lim lim → → → → = = = = − 或 3.误差传递函数. 一般系统 ( ) ( ) ( ) R(s) G s H s E s + = 1 1 (s)R(s) = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 lim lim 1 1 0 0 与输入 及开环传递函数 有关 误差传递函数 e R s G s H s G s H s sR s e sE s R s G s H s E s s s s s s s s e + = = → + = = → → 4.系统按稳态误差划分的型 设系统开环传递函数为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) G s H s s e sE s s T s T T s K s s s G s H s s s s s n m + = = + + + + + + = → → 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2
=lim (T1s+1)…(Tns+1) (T;s+1)…(Tns+1)+K(zs+1)…(zns+1) lims+ R s→0s"+K 按稳定误差划分的型 当v=0,1,2,…R时分别称为型1型2型…系统 5.扰动误差传递函数 对调节系统R(s)=0 E, (S)=R(S-B()=-B(s 即En(S N(s)=Φn(s)N() 1+GG.h Φ(s) G2(SH(s →扰动误差传函 N(s)1+G(SG2(s)H( 6.R(S)和N(s)共同作用时 E()=Φ、()R(s)+Φn(s)N(s) 二.给定输入信号下的稳态误差 1.阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数K r(t)=A1(),R(s) A m sE(s)=lim -01+G(SH(s)s I+linG(SH(s 令Kn=lmG()H(s)→静态位置误差系数 SS 1+Np v=0K=K ess 1+K v≥1,K 结论:0型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统 要使e灬ψ,可↑K对阶跃输入,要使en=0,必须v≥ 2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系数K ()=At,R(s) A ess=5901+G(SH(s) =lim 3>05+SG(s)H(s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) s K s R s s T s T s K s s s T s T s s n m n s + = + + + + + + + = + → + → 1 0 1 1 1 1 0 lim 1 1 1 1 1 1 lim 按稳定误差划分的型： 当 = 0,1,2, R时,分别称为0型,1型,2型系统.. 5.扰动误差传递函数. 对调节系统 R(s) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 扰动误差传函 即 + = = − = + = − = − = − G s G s H s G s H s N s E s s N s s N s G G H G H E s E s R s B s B s en n en n 1 2 2 1 2 2 1 1 . 6. R(s)和N(s)共同作用时 E(s) (s)R(s) (s)N(s) = e +en 二.给定输入信号下的稳态误差 1.阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数 K p ( ) ( ) ( ) s A r t = A1 t , R s = ( ) ( ) ( ) s A G s H s s e sE s s s s s + = = → → 1 lim lim 0 0 G(s)H(s) A s 0 1 lim → + = 令 = ( ) ( )→ 静态位置误差系数 → K G s H s s p 0 lim p ss K A e + = 1 1, , 0 1 0, , = = + = = = p ss p ss K e K A K K e 结论: 0 型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统. 要使 ,可 .对阶跃输入,要使 = 0,必须 1. s s s s e K e 2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系数 K ( ) ( ) 2 , s A r t = At R s = ( ) ( ) s sG(s)H(s) A s A G s H s s e s s s s + = + = → →0 2 0 lim 1 lim
A m S-0SG(SH(S) 令K,=ms(s)H(s)→静态速度误差系数 e K v=0,K,=0,es=∞ v=l,K.=K,ess K v≥2,K,=∞,es=0 结论:0型系统不能跟踪斜坡输入;1型可跟踪,但有与K有关的误差;2型及 以上在斜坡输入下的e=0。 3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数K r()=t2,R(s)= A 3901+G(SH(S)s3 50SG(SH( 令K=lmns2G()H(s)→静态加速度误差系数 0, K 1,K。=0, A v=2,K。=K,e K v≥3,Kn=∞, 0 结论:0型和1型不能跟踪r()=r2,2型可跟踪但有误差,3型 及以上才有准确跟踪. 4.复合输入下的稳态误差 r()=A+At+lAt时 ess+dp 至少ψ≥2,en才能满足要求但会降低系统稳定性 表3-3P95总结 例 <1>G R(s)cE(s C(s) <2>G(s)= 10(s+1 s2(s+4)
sG(s)H(s) A s 0 lim → = ( ) ( ) K A K K e K e K A e K sG s H s s s s s s s s = = = = = = = = → → 1, , 0, 0, lim . 0 令 静态速度误差系数 2,K = ,ess = 0 结论:0 型系统不能跟踪斜坡输入；1 型可跟踪，但有与 K 有关的误差；2 型及 以上在斜坡输入下的 ess = 0 。 3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数 Ka ( ) ( ) 3 2 , 2 s A t R s A r t = = ( ) ( ) s G(s)H(s) A s A G s H s s e s s s s 2 0 3 0 lim 1 lim → → = + = 令 = ( ) ( )→静态加速度误差系数 → K s G s H s s a 2 0 lim a ss K A e = 3, , 0 2, , 1, 0, 0, 0, = = = = = = = = = = = a ss a ss a ss a ss K e K A K K e K e K e 结论: 0 型和 1 型不能跟踪 ( ) 2 2 t A r t = ,2 型可跟踪但有误差,3 型 及以上才有准确跟踪. 4.复合输入下的稳态误差 ( ) p a ss K A K A K A e r t A At A t 0 1 2 2 2 2 1 0 1 1 + + + = = + + 时 至少 2, 才能满足要求,但大会降低系统稳定性. s s e 表 3-3 P95 总结 例 3-14. ( ) ( 4) 10 1 . + = s s G s R(s) E(s) C(s) ( ) ( ) ( 4) 10 1 2 . 2 + + = s s s G s G(s)
r()=4+61+312.求en 解:<1〉G(s) 10 s+4)s(025s+1) v=1,K=25则 K=∞,K.=2.5,K=0 4 66 1+KK K 5(s+1) (s+4 0.25s+1 v=2,K=25,则 K K.=∞,K.=2.5 466 2.4 1+KKK 扰动输入引起的稳态误差 SE,() G(SG,SH(s (s) 1.阶跃扰动信号下的稳态误差 A ()=A1(,N(s)=2,则 SG, (SH G20O)H(0)A mo 1+G, (, (H(S)5 1+G(OG,(O)H(O) 讨论:当开环增益足够大时,G1O0)G2(O)H(O)>>1 G,(0)H(0)·A G1(0KG,(0)H l)若G(s)=K(比例环节,则 K ↑K可↓en,但会使系统稳定性降低 2)若G(s)=~(积分环节),则 =lim =0 可见,要在m()=A1()作用下使en=0,应在误差信号与扰动作 用点之间至少应设置一个积分环节. 2.斜坡扰动信号下的稳态误差 A n()=A,M(s)=,则
( ) 4 6 3 . 2 r t = + t + t ss .求e 解: <1> ( ) ( ) (0.25 1) 2.5 4 10 + = + = s s s s G s =1,K = 2.5 则 + + = + = = = = p a ss p a K K K e K K K 6 6 1 4 , 2.5, 0 <2>. ( ) ( ) ( ) ( ) (0.25 1) 2.5 1 4 10 1 2 2 + + = + + = s s s s s s G s 2.4 6 6 1 4 , , 2.5 2, 2.5, + + = + = = = = = = p a ss p a K K K e K K K K 则 三.扰动输入引起的稳态误差. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = − → → N s G s G s H s sG s H s e sE s s s n s sn 1 2 0 0 1 lim lim 1.阶跃扰动信号下的稳态误差 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (0) (0) (0) 0 0 1 lim 1 , , 1 2 2 1 2 0 G G H G H A s A G s G s H s sG s H s e s A n t A t N s s s s n + = − + = − = = → 则 讨论:当开环增益足够大时,G1 (0)G2 (0)H(0) 1 ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) 0 0 1 2 1 2 G A G G H G H A es n = − = − 1).若G1 (s) = K1 (比例环节),则 K1 A esn = − , . K1可 es n 但会使系统稳定性降低 2).若 1 ( ) 1 (积分环节),则 s K G s = lim 0 1 0 = = − → s K A e s sn 可见,要在 n(t) = A1(t) 作用下使 esn = 0 ,应在误差信号与扰动作 用点之间至少应设置一个积分环节. 2.斜坡扰动信号下的稳态误差. ( ) , ( ) 2 ,则 s A n t = At N s =
e= lim G, ( SH(s) +G,(SG, (sH(s) lms·G1 可见,为使eυ=0,在误差信号与扰动作用点之间至少应设置两个积分环节 但积分环节增多,会降低系统的稳定性. 总结:<1>一般干扰信号多为阶跃信号,所以常设 TS+ G (s=K K1+ TS TS 〉系统总稳态误差e=e+e 四.用动态误差系数法计算系统的稳态误差 静态误差系数法应用范围有限制.动态误差系数法可研究任意时间函数的输 入信号引起的误差随时间变化的规律. 将Φ。(s) E(s R(s)1+G()H(6) 在s=0的邻域内展开成台劳级数 (s)=Φ0)+Φ(0)s+Φ(s)s E(S)=d,(O)R(s)+Φ2(0)sR(s)+Φ(0)32R(s)+ 0)sR(s)+ 此即误差级数,它的收敛域是s=0的邻域,即相当于t→∞ 当初始条件为零时,求L en,()=Φ0)()+Φ(0)()+Φ0)r()+ 令 0,1,2 e,()=cr()+cr()+c2r()+…+cr()+ C C;称为动态误差系数,C0—位置动态误差系数, 一速度动态误差系数,C2—加速度动态误差系数 简便方法:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − → 2 1 2 2 0 1 lim s A G s G s H s G s H s e s sn lim (0) 1 0 s G A s = − → 可见,为使 esn = 0 ,在误差信号与扰动作用点之间至少应设置两个积分环节. 但积分环节增多,会降低系统的稳定性. 总结:<1> 一般干扰信号多为阶跃信号,所以常设 ( ) = + + = s K s s G s K i i i 1 1 1 1 1 1 <2> 系统总稳态误差 ss sr sn e = e + e 四.用动态误差系数法计算系统的稳态误差. 静态误差系数法应用范围有限制.动态误差系数法可研究任意时间函数的输 入信号引起的误差随时间变化的规律. 将 ( ) ( ) R(s) G(s)H(s) E s s e + = = 1 1 在 s = 0 的邻域内展开成台劳级数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = + + + • •• • •• E S R s sR s s R s s s s s e e e e e e e 2 2 0 2! 1 0 0 2! 1 0 0 ( ) + ( )s R(s)+ l l l e 0 ! 1 此即误差级数，它的收敛域是 s=0 的邻域，即相当于 t → 当初始条件为零时，求 −1 L ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )+ • • •• •• e t r t e r t e r t s s e 0 2! 1 0 0 ( ) ( ) + r (t)+ l l l e ! 1 令 ( ) (0) ! 1 i i e i C = (i = 0,1,2, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ++ ( )+ • •• e t c r t c r t c r t c r t l s s 0 1 2 l ( ) c r (t) l i i = = 0 i c 称为动态误差系数， 0 c —位置动态误差系数, 1 c —速度动态误差系数, 2 c —加速度动态误差系数. 简便方法：