免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 第二章一元二次方程 教学目标 【知识与技能】 1.一元二次方程的相关概念 2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况 4能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题. 5.构造一元二次方程解决简单的实际问题 【过程与方法】 通过灵活运用解方程的方法,体会几种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特 征找出最优解法 【情感态度】 通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决问题中 的作用 【教学重点】 运用知识、技能解决问题 【教学难点】 解题分析能力的提高 教学过程 知识框图,整体把握 元二次方程的有关概念「接开平方因 疊方因 元二次方程的解洇一 元一次方相十匚元一次方程的判别式[因式分解因 *一元二次方程根与系数的关系 元二次方程的应用 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构图,使学生系统地了解本章 知识及之间的关系 、释疑解惑,加深理解 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第二章 一元二次方程 教学目标 【知识与技能】 1.一元二次方程的相关概念. 2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况. 4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题. 5.构造一元二次方程解决简单的实际问题. 【过程与方法】 通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特 征找出最优解法. 【情感态度】 通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中 的作用. 【教学重点】 运用知识、技能解决问题. 【教学难点】 解题分析能力的提高． 教学过程 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章 知识及之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 1.一元二次方程的概念: 如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那 么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是:ax2+bx+c=0,(a,b,c是已知数且a≠ 0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项 2.直接开平方法: 对于形如(x+n)2=d(d≥0)的方程,可用直接开平方法解 直接开平方法的步骤是:把方程变形成(x+n)2=d(d≥0),然后直接开平方得x+n=a 和x+n=√a,分别解这两个一元一次方程,得到的解就是原一元二次方程的解 3.配方法 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根,这种方法称为配方法 用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边: (3)若方程的二次项系数不为1时,方程两边同时除以二次项系数a: (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方 (5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 两个一元一次方程来解 4.公式法: 求根公式 4ac x= b2-4ac≥0) 2 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤: 首先要把原方程化为一般形式,从而正确地确定a,b,c的值:其次要计算b2-4ac的 值,当b2-4aC≥0时,再用求根公式求解. 5.因式分解法 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:把方程化成一边为0,另一边是两个一次因式 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.一元二次方程的概念： 如果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那 么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax 2 +bx+c=0，(a，b，c 是已知数且 a≠ 0)，其中 a，b，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 2.直接开平方法： 对于形如（x+n）2 =d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解. 直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2 =d(d≥0)，然后直接开平方得 x+n= d 和 x+n=- d ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 3.配方法： 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式 ax 2 +bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为 1 时，方程两边同时除以二次项系数 a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 两个一元一次方程来解． 4.公式法： 求根公式 2 4 2 b b ac x a = － － （b 2 -4ac≥0） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定 a，b，c 的值；其次要计算 b 2 -4ac 的 值，当 b 2 -4ac≥0 时，再用求根公式求解. 5.因式分解法： 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为 0，另一边是两个一次因式
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 的乘积的形式,然后使每一个一次因式等于0,分别解两个一元一次方程,得到的两个解就 是原一元二次方程的解 6.一元二次方程的根的判别式 我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“△”表示,即:△=b2-4ac (1)当△=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即 b+√b2-4ac b√b2-4ac (2)当△=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根 (3)当△=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根 7.一元二次方程的根与系数的关系: 当△≥0时,一元二次方程的根与系数之间具有以下关系:两根的和等于一次项系数与 二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比即: x1+x2 b C 8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤: 实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的 【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫. 、典例精析,复习新知 1.(1)方程(m+1)xm2-2m1+7x-m=0是一元二次方程,则m是多少? 分析:首先根据一元二次方程的定义得,m2-2m1=2;再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值 (2)若关于x的一元二次方程(m1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m等于() B.2 C.1或2 分析:首先得出m2-3m+2=0:再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条 件得m-1≠0来求m的值 【答案】B 【教学说明】此时要注意二次项系数不为0,在讨论含字母系数的一元二次方程问题时 命题者常利用a≠0设计陷阱 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于 0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就 是原一元二次方程的解. 6.一元二次方程的根的判别式： 我们把 b 2 -4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2 -4ac ⑴当Δ=b2 -4ac>0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即 2 1 4 2 b b ac x a + = － － ， 2 2 4 2 b b ac x a = － － － . ⑵当Δ=b2 -4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根 ⑶当Δ=b2 -4ac<0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）没有实数根. 7.一元二次方程的根与系数的关系： 当Δ≥0 时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与 二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即： 8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的 解. 【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫. 三、典例精析，复习新知 1．（1）方程(m+1)xm2 -2m-1+7x-m=0 是一元二次方程，则 m 是多少？ 分析：首先根据一元二次方程的定义得，m 2 -2m-1=2；再由一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的定义中 a≠0 这一条件得 m+1≠0 来求 m 的值． 【答案】 m=3． （2）若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2 +5x+m2 -3m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（ ） A．1 B．2 C．1 或 2 D．0 分析：首先得出 m 2 -3m+2=0；再由一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的定义中 a≠0 这一条 件得 m-1≠0 来求 m 的值． 【答案】 B 【教学说明】此时要注意二次项系数不为 0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时， 命题者常利用 a≠0 设计陷阱
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 2.用适当的方法解一元二次方程 (1)x2=3x (2)(x-1)2=3 (3)x2-2x-99=0 (4)2x2+5x-3=0 分析:方程(1)选用因式分解法;方程(2)选用直接开平方法;方程(3)选用配方 法;方程(4)选用公式法 解:(1)x1=0,x=3:(2)x=1+√3,x=1-√3:(3)x=1,x=-9:(4)x=1/2,x2=-3 3.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0, 则x2+ 分析:用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0,解得m1=5,m=-1 对所求结果,还要结合“x2+y2”进行取舍,从而得到最后结果 【答案】5 4若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根,则k的取值范围是() k>-1且k≠0 C. k<I D.k<1且k≠0 分析:b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4>0得k>-1,再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的定义中a≠0这一条件得k≠0 【答案】B 5.某商场将销售成本为30元的台灯以頓0元的价格售出,平均每月销售600个.市场调 査表明:这种台灯的售价每上涨1元,每月平均销售数量将减少10个.若销售利润率不得 高于100%,那么销售这种台灯每月要获利10000元,台灯的售价应定为多少元? 分析:如果这种台灯售价上涨x元,那么每个台灯获利(40+x-30)元,每月平均销售 数量为(600-10x)个,销售利润为(40+x-30)和(600-10x)的积.用一元二次方程解决实 际问题时,所求得的结果往往有两个,而实际问题的答案常常是一个,这就需要我们仔细审 题,看清题目的要求,进而作出正确的选择 解:设这种台灯的售价上涨x元,根据题意,得 (40+x-30)(600-10x)=10000 即x2-50x+400=0. 解得x1=10,x2=40. 所以每个台灯的售价应定为50元或80元 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2.用适当的方法解一元二次方程 (1)x2 =3x (2)(x-1)2 =3 (3)x2 -2x-99=0 (4)2x2 +5x-3=0 分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方 法；方程（4）选用公式法. 解：（1）x1=0,x2=3;(2)x1=1+ 3 ,x2=1- 3 ;(3)x1=11,x2=-9;(4)x1=1/2,x2=-3. 3.若(x2 +y2 )2-4(x2 +y2 )-5=0, 则 x 2 +y2 =______. 分析：用换元法设 x 2 +y2 =m 得 m 2 -4m-5=0，解得 m1=5，m2=-1 对所求结果，还要结合“x 2 +y2”进行取舍，从而得到最后结果． 【答案】 5 4.若关于 x 的一元二次方程 kx2 -2x-1=0 有两不相等的实数根，则 k 的取值范围是（） A．k>-1 B．k>-1 且 k≠0 C．k<1 D．k<1 且 k≠0 分析：b 2 -4ac=(-2)2 -4×(-1)k=4k+4＞0 得 k＞-1，再由一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的定义中 a≠0 这一条件得 k≠0． 【答案】 B 5.某商场将销售成本为 30 元的台灯以 40 元的价格售出，平均每月销售 600 个．市场调 查表明：这种台灯的售价每上涨 1 元，每月平均销售数量将减少 10 个．若销售利润率不得 高于 100％，那么销售这种台灯每月要获利 10000 元，台灯的售价应定为多少元？ 分析：如果这种台灯售价上涨 x 元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售 数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实 际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审 题，看清题目的要求，进而作出正确的选择. 解：设这种台灯的售价上涨 x 元，根据题意，得 (40＋x－30)(600－10x)=10000． 即 x 2 -50x+400=0． 解得 x1=10，x2=40． 所以每个台灯的售价应定为 50 元或 80 元．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 当台灯售价定为80元时,销售利润率为5/3,不符合要求;当台灯售价定为50元时, 销售利润率为2/3,符合要求 答:每个台灯售价应是50元 6.如图,要设计一个矩形的花坛,花坛长60m,宽40m,有两条纵向甬道和一条横向甬 道,横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道,半圆环形甬道的内半圆的半径为10m,横向甬道 的宽度是其它各甬道宽度的2倍.设横向甬道的宽为2xm.(I的值取3) (1)用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和 (2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的1/5多36m2时,求x的值 40m 解:(1)两个半圆环形甬道的面积=I(10+x)2-m×102=3x2+60x(m2) (2)依题意,得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=1/5×60×40+36 整理,得x2-260x+516=0,解得x1=2,x2=258(不符合题意,舍去), 答:x的值为 【教学说明】列方程解应用题注重考査了能力问题,表面文字比较复杂,但认真阅读, 抓住实质,问题就迎刃而解了 四、复习训练,巩固提高 1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 分析:b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8 【答案】B 2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a-1=0的一个根为0,则实数a的值为() 分析:把x=0代入方程得:|a|-1=0,∴a=±1 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 当台灯售价定为 80 元时，销售利润率为 5/3，不符合要求；当台灯售价定为 50 元时， 销售利润率为 2/3，符合要求． 答：每个台灯售价应是 50 元. 6.如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长 60m，宽 40m，有两条纵向甬道和一条横向甬 道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为 10m，横向甬道 的宽度是其它各甬道宽度的 2 倍．设横向甬道的宽为 2xm．(π的值取 3) (1)用含 x 的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和； (2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的 1/5 多 36m2 时，求 x 的值． 解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）2-π×102=3x2 +60x（m 2）； （2）依题意，得 40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2 +60x=1/5×60×40+36， 整理，得 x 2 -260x+516=0，解得 x1=2，x2=258（不符合题意，舍去）， ∴x=2； 答：x 的值为 2． 【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读， 抓住实质，问题就迎刃而解了. 四、复习训练，巩固提高 1.一元二次方程 x 2 -2x-1=0 的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 分析：b 2 -4ac=(-2)2 -4×(-1)=8 【答案】 B 2.关于 x 的一元二次方程(a－1)x2 +x+a－1=0 的一个根为 0，则实数 a 的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．－1 或 1 分析：把 x=0 代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1