第三节流体平衡微分方程和等压面 、流体平衡微分方程 静止流体在外力作用下,其内部形成一定的压力分布 为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律,并用来解决 工程实际问题,首先需要建立流体平衡微分方程式 如图2-4所示,从静止流体中取出一边长分别为dx、dy dz的微元平行六面体,其中心点为a,坐标为(x,y,z),该点 的流体静压力为p=p(x,y,z)。 作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力。由于流体处 于平衡状态,所以没有切应力,故表面力只有沿内法线方向作 用在六面体六个面上的静压力。 过a点作平行于x轴的直线交左右两平面的中心b、c两点
第三节 流体平衡微分方程和等压面 一、流体平衡微分方程 静止流体在外力作用下，其内部形成一定的压力分布， 为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律，并用来解决 工程实际问题，首先需要建立流体平衡微分方程式。 如图2-4所示，从静止流体中取出一边长分别为dx、dy、 dz的微元平行六面体，其中心点为a，坐标为(x，y，z)，该点 的流体静压力为p=p(x，y，z)。 作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力。由于流体处 于平衡状态，所以没有切应力，故表面力只有沿内法线方向作 用在六面体六个面上的静压力。 过a点作平行于x轴的直线交左右两平面的中心b、c两点
第三节流体平衡微分方程和等压面 3 p一 十 ax 2 占 ds x 图2-4平衡微元平行六面体及x方向的受力
第三节 流体平衡微分方程和等压面 图2-4 平衡微元平行六面体及x方向的受力
第三节流体平衡微分方程和等压面 由于静压力是点的坐标的连续函数,所以在b、c两点上的 静压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上的无穷小量,分别 等于p2x3p+92d p dx x。由于六面体的面积都是微元面积, ax 2 故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力。此外,设微 元六面体流体的平均密度为P,流体的单位质量力为f,它在 各坐标轴上的分量分别为f、f、f。则微元六面体的质量力沿 x轴的分力为 fpdxdydz。由于微元六面体处于平衡状态,则有 ∑F、=0,ΣF、=0,∑F=0。在x轴方向上 ap dx ap d \(p ax Ddydz-(p+ Ddydz +fpdxdydz=o ax 2 或 f pdxdydz P dxd ydz=O ax
第三节 流体平衡微分方程和等压面 由于静压力是点的坐标的连续函数，所以在b、c两点上的 静压力按泰勒级数展开后，并略去二阶以上的无穷小量，分别 等于 和 。由于六面体的面积都是微元面积， 故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力。此外，设微 元六面体流体的平均密度为ρ，流体的单位质量力为 ，它在 各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz。则微元六面体的质量力沿 x轴的分力为fxρdxdydz。由于微元六面体处于平衡状态，则有 ΣFx =0，ΣFy =0，ΣFz =0。在x轴方向上 或 2 d 2 d x x p p x x p p + − d d d d d d 0 )d d d d d 0 2 d )d d ( 2 d ( = − + = − + − x y z x p f x y z y z f x y z x x p y z p x x p p x x f
第三节流体平衡微分方程和等压面 如果用微元体的质量 pdxdydz去除上式,则得到单位质量流体 在x方向上的平衡方程 1p=0 ax 同理可得 fff 0 p dy (2-6) 1 ap 0 az 写成向量形式 f--grad p=0 (2-6a) 这就是流体平衡微分方程式。它是欧拉在1755年首先提出的, 所以又称为欧拉平衡微分方程式
第三节 流体平衡微分方程和等压面 如果用微元体的质量ρdxdydz去除上式，则得到单位质量流体 在x方向上的平衡方程 同理可得 (2-6) 写成向量形式 (2-6a) 这就是流体平衡微分方程式。它是欧拉在1755年首先提出的， 所以又称为欧拉平衡微分方程式。 gra d 0 1 0 1 0 1 0 1 − = = − = − = − f p z p f y p f x p f z y x
第三节流体平衡微分方程和等压面 欧拉平衡微分方程的物理意义为:当流体平衡时,作用在 单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡,它们沿三 个坐标轴的投影之和分别等于零。欧拉平衡微分方程是流体静 力学最基本的方程,它可解决流体静力学中许多基本问题 在圆柱坐标系下流体的平衡微分方程式的形式为 10p=0 oor 0p=0 prde (2-7) 10p=0 az
第三节 流体平衡微分方程和等压面 欧拉平衡微分方程的物理意义为：当流体平衡时，作用在 单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡，它们沿三 个坐标轴的投影之和分别等于零。欧拉平衡微分方程是流体静 力学最基本的方程，它可解决流体静力学中许多基本问题。 在圆柱坐标系下流体的平衡微分方程式的形式为 (2-7) = − = − = − 0 1 0 1 0 1 z p f r p f r p f z r