第三节流体平衡微分方程和等压面 上式中f、f、f2分别为单位质量力在径向r、切向θ和轴向z上的 分量。 在推导欧拉平衡微分方程的过程中,对质量力的性质及方 向并未作具体规定,因而本方程既适用于静止流体,也适用于 相对静止的流体。同时,在推导中对整个空间的流体密度是否 变化或如何变化也未加限制,所以它不但适用于不可压缩流体, 而且也适用于可压缩流体。另外,流体是处在平衡或相对平衡 状态,各流层间没有相对运动,所以它既适用于理想流体,也 适用于粘性流体。 为了便于积分和工程应用,流体平衡微分方程式可以改写 为另一种形式,即全微分形式
第三节 流体平衡微分方程和等压面 上式中fr、fθ、fz分别为单位质量力在径向r、切向θ和轴向z上的 分量。 在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方 向并未作具体规定，因而本方程既适用于静止流体，也适用于 相对静止的流体。同时，在推导中对整个空间的流体密度是否 变化或如何变化也未加限制，所以它不但适用于不可压缩流体， 而且也适用于可压缩流体。另外，流体是处在平衡或相对平衡 状态，各流层间没有相对运动，所以它既适用于理想流体，也 适用于粘性流体。 为了便于积分和工程应用，流体平衡微分方程式可以改写 为另一种形式，即全微分形式
第三节流体平衡微分方程和等压面 现将式(26)中各分式分别乘以dx、dy、dz,然后相加得 O dx+f dy+faz) dx+ oedy+old)=o ax az 因为压力p是坐标的连续函数,故p的全微分为 p dx+-rd y ax y az 于是,流体平衡微分方程式(2-6)又可表示为 dp=p( dx+f, dy+f dz) (2-8) 这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式。 同样,对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为 dp=p(,dr+ forde+f dz)(2-9
第三节 流体平衡微分方程和等压面 现将式(2-6)中各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加得 因为压力p是坐标的连续函数，故p的全微分为 于是，流体平衡微分方程式(2-6)又可表示为 (2-8) 这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式。 同样，对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为 (2-9) ( d d d ) 0 1 ( d d d ) = + + + + − z z p y y p x x p f x f y f z x y z z z p y y p x x p d p d d d + + = d p ( f dx f d y f dz) = x + y + z d p ( f dr f rd f d z) = r + + z
第三节流体平衡微分方程和等压面 有势质量力及力的势函数 根据场论的知识,有势质量力及力的势函数有如下定义: 设有一质量力场f(x,y,z)若存在一单值函数U(x,y 2),满足f=grad则称该质量力场为有势力场,力称为 有势质量力,函数U(x,y,z)称为该力场的势函数。 由流体平衡微分方程式(2-6a)可以看出,如果流体为不可 压缩流体,其密度p=常数,则存在一单值函数U(x,y,z),满 足 gradU=-grad p=f 所以,根据有势质量力的定义,可以得出这样的结论:“凡满 足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力
第三节 流体平衡微分方程和等压面 二、有势质量力及力的势函数 根据场论的知识，有势质量力及力的势函数有如下定义： 设有一质量力场 ，若存在一单值函数U(x，y， z)，满足 ，则称该质量力场为有势力场，力 称为 有势质量力，函数U(x，y，z)称为该力场的势函数。 由流体平衡微分方程式(2-6a)可以看出，如果流体为不可 压缩流体，其密度ρ=常数，则存在一单值函数U(x，y，z)，满 足 所以，根据有势质量力的定义，可以得出这样的结论：“凡满 足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力。 ” U p f = grad = 1 grad f (x，y，z) f = gradU f
第三节流体平衡微分方程和等压面 或者说:“不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处 于平衡状态。 上式中U=U(x,y,z)为力的势函数,质量力∫为有势质量 力。由于 a0- a0-a0 radu j+k=∫xi+∫j+厂k=∫ Ox a az 因此可得 aU aU aU f ax y (2-10) 上述向量式的两边同时点乘以d§=dxi+dyj+dzk,得 OU dU d x+-dy+-d ax az fdx+fdy+fda=fds(2-1
第三节 流体平衡微分方程和等压面 或者说：“不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处 于平衡状态。 ” 上式中U=U(x，y，z)为力的势函数，质量力 为有势质量 力。由于 因此可得 (2-10) 上述向量式的两边同时点乘以 ，得 (2-11) z U f y U f x U f k f i f j f k f z U j y U i x U U x y z x y z = = = = + + = + + = ， ， grad s x i y j z k d = d + d + d f x f y f z f s z z U y y U x x U U x y z d d d d d d d d = + + = + + = f
第三节流体平衡微分方程和等压面 上式表明,力的势函数的全微分dU为单位质量力f在空 间移动d距离所做的功。可见,有势质量力所做的功与路径 无关。 比较式(28)和式(2-11)可得 dp=pdu或p=pU+C (2-12) 上式即为不可压缩流体内部静压力p与力的势函数U之间的关 系式,积分常数C可由边界条件确定
第三节 流体平衡微分方程和等压面 上式表明，力的势函数的全微分dU为单位质量力 在空 间移动 距离所做的功。可见，有势质量力所做的功与路径 无关。 比较式(2-8)和式(2-11) dp=ρdU 或 p=ρU+C (2-12) 上式即为不可压缩流体内部静压力p与力的势函数U之间的关 系式，积分常数C可由边界条件确定。 f s d