经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.7 对小区域电荷,电荷分布在r~0区,故φe()在r=0作泰勒展开 Q。(T° +∑an 写成矢量形式 7=0 0rC;|=02 ∑ 2,0 r1.m;x71=0 y2e(0)+rVφe(0)+(r7):VVe(0)+ Wint=/ppe dT ppe(0)dT+er Vpe(o)dr f2 /prr: VVpe(0)dT+ :v9.(0)=22(0)=-p(0)=0(元=0处无外电荷分布,故p(O)=0) 1 nt pdr pe(0)+ prdr. vpe(0)+ Wn=Q0)+-p.E2(0)+ /m(8-21):Vv20+ D: VE 单极矩与外场 的相互作用能 偶极矩与外场 的相互作用能 偶极矩与外场的相互作用能 Q=/pdr, p=prdr, D=/p(3rr-r2I)dr, Vpe(0)=Ee(0 复旦大学物理系 林志方徐建军2
Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.7 é«>Ö§>Ö©Ù3 r~ ∼ 0 «§ ϕe(r~) 3 r~ = 0 VÐm ϕe(r~) = ϕe(r~) r~=0 + X i xi ∂ϕe ∂xi r~=0 + 1 2! X i,j xixj ∂ 2ϕe ∂xixj r~=0 + . . . ¤¥þ/ª = ϕe(0) + r~ · ∇ϕe(0) + 1 2 (r~r~) : ∇∇ϕe(0) + . . . Wint = Z ρϕe dτ = Z ρϕe(0) dτ + Z ρ r~ · ∇ϕe(0) dτ + 1 2 Z ρ r~r~ : ∇∇ϕe(0) dτ + . . . ↔ I : ∇∇ϕe(0) = ∇2ϕe(0) = − 1 ρe(0) = 0 (r~ = 0 ?à >Ö©Ù§ ρe(0) = 0) Wint = Z ρ dτ ϕe(0) + Z ρ r~ dτ · ∇ϕe(0) + 1 6 Z ρ (3r~r~ − r~ 2 ↔ I ) : ∇∇ϕe(0) dτ + . . . Wint = Qϕe(0) | {z } ü4Ý | p^U + h − p~ · E~ e(0)i | {z } ó4Ý | p^U + − 1 6 ↔ D : ∇E~ e(0) | {z } ó4Ý |p^U + . . . Q = Z ρ dτ, p~ = Z ρ r~ dτ, ↔ D = Z ρ (3r~r~ − r~ 2 ↔ I ) dτ, ∇ϕe(0) = −E~ e(0) EÆ ÔnX Mï 2
经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.7 对小区域电荷,电荷分布在r~0区,故φe()在r=0作泰勒展开 Q。(T° +∑an 7=0 0rC;|=02 ∑ 2,0 r1.m;x71=0 写成矢量形式 y2e(0)+rVφe(0)+(r7):VVe(0)+ Wint=/ pe dr=/pe(0)dr+pr vpe(o)dr 2 PTr: VVpe(0)dr+ :V9.(0)=y2y(0)=-p(0)=0(7=0处无外电荷分布,故p(0)=0 1 nt pdr pe(0)+ prdr. vpe(0)+ Wn=Q0)+-p.E2(0)+ /m(8F-x21)2(0)d+ D:VE2(0)+ 单极矩与外场 的相互作用能 偶极矩与外场 的相互作用能 偶极矩与外场的相互作用能 Q=/pdr, p=prdr, D=/p(3rr-r2I)dr, Vpe(0)=Ee(O) 电荷系与外场的相互作用能为单、偶、四、……极矩与外场的相互作用能之和 复旦大学物理系 林志方徐建军2
Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.7 é«>Ö§>Ö©Ù3 r~ ∼ 0 «§ ϕe(r~) 3 r~ = 0 VÐm ϕe(r~) = ϕe(r~) r~=0 + X i xi ∂ϕe ∂xi r~=0 + 1 2! X i,j xixj ∂ 2ϕe ∂xixj r~=0 + . . . ¤¥þ/ª = ϕe(0) + r~ · ∇ϕe(0) + 1 2 (r~r~) : ∇∇ϕe(0) + . . . Wint = Z ρϕe dτ = Z ρϕe(0) dτ + Z ρ r~ · ∇ϕe(0) dτ + 1 2 Z ρ r~r~ : ∇∇ϕe(0) dτ + . . . ↔ I : ∇∇ϕe(0) = ∇2ϕe(0) = − 1 ρe(0) = 0 (r~ = 0 ?à >Ö©Ù§ ρe(0) = 0) Wint = Z ρ dτ ϕe(0) + Z ρ r~ dτ · ∇ϕe(0) + 1 6 Z ρ (3r~r~ − r~ 2 ↔ I ) : ∇∇ϕe(0) dτ + . . . Wint = Qϕe(0) | {z } ü4Ý | p^U + h − p~ · E~ e(0)i | {z } ó4Ý | p^U + − 1 6 ↔ D : ∇E~ e(0) | {z } ó4Ý |p^U + . . . Q = Z ρ dτ, p~ = Z ρ r~ dτ, ↔ D = Z ρ (3r~r~ − r~ 2 ↔ I ) dτ, ∇ϕe(0) = −E~ e(0) >ÖX |p^Uü!ó!o!,,4Ý |p^UÚ EÆ ÔnX Mï 2
经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.7 例1:无电荷空间任一点的静电势之值等于以该点为球心的任一球面上的 电势之平均值。(p115习题41) 复旦大学物理系 林志方徐建军3
Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.7 ~ 1µÃ>Öm?:·>³ u±T:¥%?¥¡þ >³²þ"(p115 SK 4.1) EÆ ÔnX Mï 3
经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.7 例1:无电荷空间任一点的静电势之值等于以该点为球心的任一球面上的 电势之平均值。(p115习题41) 可以先证明球外一点电荷在一半径为R的球面上的电势平均值,等于该点电荷在球心的电势 复旦大学物理系 林志方徐建军3
Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.7 ~ 1µÃ>Öm?:·>³ u±T:¥%?¥¡þ >³²þ"(p115 SK 4.1) ±ky²¥ :>Ö3» R ¥¡þ>³²þ§ uT:>Ö3¥%>³ EÆ ÔnX Mï 3
经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.7 例1:无电荷空间任一点的静电势之值等于以该点为球心的任一球面上的 电势之平均值。(p115习题41) 可以先证明球外一点电荷在一半径为R的球面上的电势平均值,等于该点电荷在球心的电势 为此,可选球心于原点,点电荷q在z轴距球心a 复旦大学物理系 林志方徐建军3
Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.7 ~ 1µÃ>Öm?:·>³ u±T:¥%?¥¡þ >³²þ"(p115 SK 4.1) ±ky²¥ :>Ö3» R ¥¡þ>³²þ§ uT:>Ö3¥%>³ d§À¥%u:§:>Ö q 3 z ¶å¥% a EÆ ÔnX Mï 3