上式即为单自由度体系的运动方程，为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于方程的求解，将式（3-5）两边同除以m，得kx+二*+(3-6)-x=-xgmm令[k(3-7)0=mc5=(3-8)2om则式（3-6）可写成X+205x+02x=-xg(3-9)3.2.2运动方程的解1.方程的齐次解一自由振动式（3-9）相应的齐次方程为x+205x+0*x=0(3-10)方程（3-10）描述的是，在没有外界激励的情况下结构体系的运动一即自由振动。为解方程（3-10），按齐次常微分方程的求解方法，先求解相应的特征方程r2+205r+0?=0(3-11)其特征根为n=-50+0/52-1(3-12a)r2 =-50-0/52-1(3-12b)则方程（3-10）的解为(1）若>1，、2为负实数x(t)=Cjent +cze"2(3-13a)(2)若5=1,==-50x(t)=(c) + C2t)e-5mr(3-13b)(3)若<1，、2为共轭复数x(t)=e-o(c,cosOpt+c,sinOpt)(3-13c)上式中，Cj、C,为待定系数，由初始条件确定；
上式即为单自由度体系的运动方程，为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于方 程的求解，将式（3-5）两边同除以 m ，得 g x x m k x m c x+ + = − （3-6） 令 m k = （3-7） m c 2 = （3-8） 则式（3-6）可写成 g x+ x + x = −x 2 2 （3-9） 3.2.2 运动方程的解 1. 方程的齐次解—自由振动 式（3-9）相应的齐次方程为 2 0 2 x + x + x = （3-10） 方程（3-10）描述的是，在没有外界激励的情况下结构体系的运动—即自由振动。为解 方程（3-10），按齐次常微分方程的求解方法，先求解相应的特征方程 2 0 2 2 r + r + = （3-11） 其特征根为 1 2 r1 = − + − （3-12a） 1 2 r2 = − − − （3-12b） 则方程（3-10）的解为 (1) 若 1， 1 r 、 2 r 为负实数 rt r t x t c e c e 1 2 1 2 ( ) = + （3-13a） (2) 若 =1， r1 = r2 = − t x t c c t e − ( ) = ( + ) 1 2 （3-13b） (3) 若 1， 1 r 、 2 r 为共轭复数 ( ) ( cos sin ) 1 2 x t e c t c t D D t = + − （3-13c） 上式中， 1 c 、 2 c 为待定系数，由初始条件确定；
Op=0/1-5?(3-14)显然，>1时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；<1时，体系产生振动，称为欠阻尼状态；而=1时，介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振动（参见图3-3)。x(t) 5=00<5<15=15>1图3-3各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动由式（3-8）知，与=1相应的阻尼系数为c,=20om，称之为临界阻尼系数，因此也可表达为S-C(3-15)Cr故称为临界阻尼比，简称阻尼比。一般工程结构均为欠阻尼情形，为确定式（3-13c）中的待定系数，考虑如下初始条件Xo = x(0)x=x(0)其中xo、x。分别为体系质点的初始位移和初始速度。由此可得(3-15a)Ci=XoXo +EaxoC2 =(3-15b)OD将式（3-15）代入式（3-13c），则得体系自由振动位移时程为xo +5axo sin ptl(3-16)x(t)=e-5ot[xocospt+Op无阻尼时（==0）xo(3-17)sinotx(t)= xo cos ot +OD由于cosot、sinのt均为简谐函数，因此无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐周期振
2 D = 1− （3-14） 显然， 1 时，体系不产生振动，称为过阻尼状态； 1 时，体系产生振动，称为欠 阻尼状态；而 =1 时，介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振 动（参见图 3-3）。 图 3-3 各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动 由式（3-8）知，与 =1 相应的阻尼系数为 cr = 2m ，称之为临界阻尼系数，因此 也 可表达为 r c c = （3-15） 故称 为临界阻尼比，简称阻尼比。 一般工程结构均为欠阻尼情形，为确定式（3-13c）中的待定系数，考虑如下初始条件 (0) 0 x = x ， (0) 0 x = x 其中 0 x 、 0 x 分别为体系质点的初始位移和初始速度。由此可得 1 0 c = x （3-15a） D x x c 0 0 2 + = （3-15b） 将式（3-15）代入式（3-13c），则得体系自由振动位移时程为 ( ) [ cos sin ] 0 0 0 t x x x t e x t D D D t + = + − （3-16） 无阻尼时（ = 0 ） t x x t x t D ( ) cos sin 0 0 = + （3-17） 由于 cost 、sint 均为简谐函数，因此无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐周期振