上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第三章 连续形型随机变量 3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫有等式

§3.5随机变量的数字特征、契贝晓夫有等式 我们已经知道离散型随机变量5的数学期望为 B5-2xP5=x) 现在，自然要问连续型随机变量的数学期望是什么？我们就来讨论这个问题。 设5是一个连续型随机变量，密度函数为p(x),取分点： Xo<1<Xn+ 则随机变量落在Ax=(X1,X41)中的概率为 p(x)ds 当△x,相当小时，就有 P(5eAx)≈px)Ax,0,l,…,n 这时，分布列为 X。 px)Ar,p(s,)Ar,Ps.)ar 的离散型随机变量可以看作是5的一种近似，而这个离散型随机变量的数学期望为 x,P(x,)Ax, 它近似地表达了连续型随机变量二的平均值。当分点愈密时，这种近似也就愈好，由数学 分析上述和式以积分 xp(x)ds 为极限，因而我们有下述定义。 定义3.7设5是一个连续型随机变量，密度函数为p(x),当 xp(x)< 时，称5的数学期望存在，且

§3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫有等式 我们已经知道离散型随机变量  的数学期望为 E  = ( ) 1 i n i i  x P = x =  现在，自然要问连续型随机变量的数学期望是什么？我们就来讨论这个问题。 设  是一个连续型随机变量，密度函数为 p(x) ，取分点： x 0 <x 1 <…<x n+1 则随机变量落在 i x =（x 1 ,x i+1 ）中的概率为 P (  ∈ i x )=  +1 ( ) i i x x p x dx 当 i x 相当小时，就有 P (  ∈ i x )  ( ) i p x i x ，i=0,1, …,n 这时，分布列为 [ 0 0 0 p(x ) x x  1 1 1 p(x ) x x    n n n p x x x ( ) ] 的离散型随机变量可以看作是  的一种近似，而这个离散型随机变量的数学期望为 i i n i i x P x x = ( ) 1 它近似地表达了连续型随机变量  的平均值。当分点愈密时，这种近似也就愈好，由数学 分析上述和式以积分   − xp(x)dx 为极限，因而我们有下述定义。 定义 3.7 设  是一个连续型随机变量，密度函数为 p(x) ，当   − | x | p(x)dx   时，称  的数学期望存在，且

Bi-xp(x)dx (3.61) 这里要求|xp(x)k<o0的理由与离散型时要求立1x,P(5=x)<0 的理由是相同的。同离散型情形一样，连续型随机变量5的数学期望E5是5的可能取值 (关于概率)的平均。 例3.17设5在品b上均匀分布，求E5 解由例3.1己知5的密度函数为 1 ,a≤x≤b p(x)=b-a 0,其他 故 这个结果是显然的。因为5在品，b]上均匀分布，它取值的平均值当然应该在[品b)的 中间，也就是a+b。 例3.18（略） 例3.19（略） 例3.20（略） 定理32若5是一个连续型随机变量，密度函数为p(x),又f(x)是实变量x的函 数，且 [lf(x)I p(x)dx<o 则有 Ef)-广fx)p(x)k (3.65) 如果(x)满足定理3.1的条件，那么利用定理3.1即可证明定理。对多维情形也有类 似的定理，仍以二维为例，有 定理3.3设(5，)是二维连续型随机变量，密度函数为p(x,y),又f(x,y)是二元 函数，则随机变量5=f(5,)的数学期望为

E  =   − xp(x)dx （3.61） 这里要求   − | x | p(x)dx   的理由与离散型时要求  =   = | | ( ) 1 i n i i x P  x 的理由是相同的。同离散型情形一样，连续型随机变量  的数学期望 E  是  的可能取值 （关于概率）的平均。 例3.17 设  在[a, b]上均匀分布，求 E  解 由例 3.1 已知  的密度函数为 p(x)=       − 0,其他 , 1 a x b b a 故 E  =  − a b dx b a x 1 = 2 | 2 1 2 x a b b a b a +  = − 这个结果是显然的。因为  在[a, b]上均匀分布，它取值的平均值当然应该在[a, b]的 中间，也就是 2 a + b 。 例 3.18（略） 例 3.19（略） 例 3.20（略） 定理 3.2 若  是一个连续型随机变量，密度函数为 p(x) ，又 f (x) 是实变量 x 的函 数，且   − | f (x) | p(x)dx   则有 E f ( ) =   − f (x) p(x)dx （3.65） 如果 f (x) 满足定理 3.1 的条件，那么利用定理 3.1 即可证明定理。对多维情形也有类 似的定理，仍以二维为例，有 定理 3.3 设 (,) 是二维连续型随机变量，密度函数为 p(x, y) ，又 f (x, y) 是二元 函数，则随机变量  = f ( ,) 的数学期望为

E5=Ef5,n=广f(x.y)p(,.ykd (3.66) 这里，当然也要求上述积分为绝对收敛 如同离散型随机变量，连续型随机变量的数学期望也具有下述性质： (1)若，则存在a≤5≤b,且a≤E5≤b: (2)对任一二维连续型随机变量(5，)，若存在B5、E),则对任意的实数k1、k2, E(k5+k2门)存在且 E(k15+k2刀)=kE5+k,E7 (3.67) (3)又若5、刀相互独立，则E51存在且 E(n)=En (3.68) 这些性质的证明也与离散型场合相同只要把那里的和号“∑”换成积分号“「”，并把 分布列换成密度函数就可了，我们把它留给读者作为一个练习 接下米读者大概会想到应该讨论连续型随机变量的方差了。 正是如此，在前一章中已经知道E(5-E5)2可衡量随机变量5离开它的均值E(5) 的平均偏离程度，因而我们理所当然地有下述定义。 定义3.8若5是一个随机变量，又E(5-E5)2存在，则称E(5-E5)2是随机变 量5的方差，记作D5或5，并称√D5是5的根方差或标准差。 如果5的密度函数为p(x),则由前述的，有 D5-E(5-E5)2=广(x-E5}px) -[x2-2x·E5+(E)]px)d =x产px)dk-2B5.广xx)dt+(E) ▣c52-B5)2 (3.69 这一关系也是意料中的。因为它与离散型情形完全相同。 例3.21（略） 例3.22（略） 例3.23（略）

E  = E f ( ,) =    −  − f (x, y) p(x, y)dxdy （3.66） 这里，当然也要求上述积分为绝对收敛。 如同离散型随机变量，连续型随机变量的数学期望也具有下述性质： （1）若，则存在 a≤  ≤b，且 a≤E  ≤b; （2）对任一二维连续型随机变量 (,) ，若存在 E  、E  ，则对任意的实数 1 k 、 2 k ， E( 1 k  + 2 k  )存在且 E( 1 k  + 2 k  )= 1 k E  + 2 k E  （3.67） （3）又若  、 相互独立，则 E  存在且 E(  )=E  ·E  （3.68） 这些性质的证明也与离散型场合相同只要把那里的和号“  ”换成积分号“  ”，并把 分布列换成密度函数就可了，我们把它留给读者作为一个练习。 接下来读者大概会想到应该讨论连续型随机变量的方差了。 正是如此，在前一章中已经知道 E(  − E ) 2 可衡量随机变量  离开它的均值 E(  ) 的平均偏离程度，因而我们理所当然地有下述定义。 定义 3.8 若  是一个随机变量，又 E(  − E ) 2 存在，则称 E(  − E ) 2 是随机变 量  的方差，记作 D  或 Var  ，并称 D 是  的根方差或标准差。 如果  的密度函数为 p(x) ，则由前述的，有 D  =E(  − E ) 2 =   − (x − E ) p(x)dx 2  =   − [x − 2x  E + (E ) ]p(x)dx 2 2   =   − x p(x)dx 2 –2E  ﹒ 2 xp(x)dx + (E)   − = c 2  -(E  ) 2 （3.69） 这一关系也是意料中的。因为它与离散型情形完全相同。 例 3.21（略） 例 3.22（略） 例 3.23（略）

我们知道方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。如果随机变量为5，数 学期望为E5,方差为D5,那么对任意的大于零的常数B,事件(|5-E5|≥E)发 生的概率P(5-E5|≥￡)应该与D5有一定的关系。粗糙地说，如果D5愈大，那么 P(|5B5|≥B)也会大一些，把这个直觉严格化，就是下面著名的契贝晓夫不等式，我 们把它写成定理的形式。 定理3,4对任意的随机变量5，若B5=,又D5存在，则对任意的正常数￡，有 A15E51≥E2器 (3.71) 在契贝晓夫不等式给出的估计中，只需要知道数学期望E5及方差D5两个数字特征就够 了，因而使用起来是比较方便的。但是也正因为它没有完整地用到随机变量的统计规律一分 布函数或密度函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗的。例如，若5是4，σ) 分布的随机变量，则由不等式(3.71)可得估计 P(l5-a≥3o)≤ 品器0n 而的§32的(3.71)己经指出 P15-a|≤30)≈0.997 故有 P|5-al≥30)≈0.003 比较这两者的结果，可知契贝晓夫不等式给出的估计的确是粗糙一些。利用契贝晓夫不等式 可以证明下列事实：随机变量5的方差D5-0的充要条件是5取某个常数值的概率为1 (证明略)，即 P(5=a)=1 (3.72) 离散型时方差所具有的性质，连续型时也同样具有。例如有 (1)若C是常数，则D(C5)=C2D52 (3.73) (2)对任意的常数C≠E5,有 D5E(5-C)2 (374) (3)若是D5、E5两个相互独立的连续型随机变量，且D5、D存在，则有

由定义我们不难知道，正态分布中的参数  ，正好是服从该分布的随机变量的标准差， 于是正态分布由它的数学期望及标准差唯一确定。 我们知道方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。如果随机变量为  ，数 学期望为 E  ，方差为 D  ，那么对任意的大于零的常数  ，事件（|  -E  |≥  ）发 生的概率 P(|  -E  |≥  )应该与 D  有一定的关系。粗糙地说，如果 D  愈大，那么 P(|  -E  |≥  )也会大一些，把这个直觉严格化，就是下面著名的契贝晓夫不等式，我 们把它写成定理的形式。 定理 3.4 对任意的随机变量  ,若 E  =a，又 D  存在,则对任意的正常数  ,有 P(|  -E  |≥  )≤ 2  D （3.71） 在契贝晓夫不等式给出的估计中，只需要知道数学期望 E  及方差 D  两个数字特征就够 了，因而使用起来是比较方便的。但是也正因为它没有完整地用到随机变量的统计规律―分 布函数或密度函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗的。例如，若  是 N( 2 , ) 分布的随机变量，则由不等式（3.71）可得估计 P(|  -a|≥ 3 )≤ 2 (3 ) D = 9 1  0.11 而的§3.2 的(3.71)已经指出 P(|  -a|≤ 3 )  0。997 故有 P(|  -a|≥ 3 )  0.003 比较这两者的结果，可知契贝晓夫不等式给出的估计的确是粗糙一些。利用契贝晓夫不等式 可以证明下列事实：随机变量  的方差 D  =0 的充要条件是  取某个常数值的概率为 1 （证明略），即 P(  =a)=1 （3.72） 离散型时方差所具有的性质，连续型时也同样具有。例如有 （1）若 C 是常数，则 D(C  )= C 2 D 2  （3.73） （2）对任意的常数 C  E  ，有 D  <E 2 ( −C) （3.74） （3）若是 D  、E  两个相互独立的连续型随机变量，且 D  、D  存在，则有

D(5+7)=D5+Dn (3.75) 这些性质的证明与离散型情形是相同的，这里不再作进一步的叙述。 对二维随机变量(5，)来说，数学期望E5、E)只反映了5与)各自的平均值，方 差D5、D1只反映了5与各自离平均值的偏离程度，它们对5与之间相互联系不提 供任何信息。前面己经指出，二维随机变量(5，)的密度函数pX,y)或分布列P)全面地描 述了(5，)的统计规律，其中包含有5与刀相互联系的内容。如同数学期望和方差一样， 当然也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。现在我们已经发现当5与门 相互独立时，有 E(5-E5)(0-E1=0 (376) 也就是说，当E(5-E)(”-E1)丰0时，5与”肯定不独立。这说明 E(5一E5)(?-E门)的数值在一定程度上反映了5与)相互间的联系。因而我们引入 下述定义。 定义3.9若(5，)是一个二维随机变量，又 E引(5-E5)(I-E1Ko 则称E(5-E5)(0-En)为5与n的协方差，并记作Cov(5,),即 Cov(5,)-E(5-E5)(1-E7) (3.77) 由协方差的定义可知它具有下述性质： )Cov(5,)=Cov(,5): (②)若a、b为两个任意常数，则 Cov(as,bn)=ab.Cov() (3)Cov(5+52,)=Cov(5i,)+Cov(52,7) 协方差的数值虽然在一定程度上反映了5与)相互间的联系，但它还受5与刀本身 数值大小的影响。譬如说，令5与)各自增大K倍，即气=Kξ，=K,这时5与门 间的相互联系和与刀间的相互联系应该是一样的，可是反映这种联系的协方差却增大了 K2倍，即有

D ( +) = D  +D  （3.75） 这些性质的证明与离散型情形是相同的，这里不再作进一步的叙述。 对二维随机变量 (,) 来说，数学期望 E  、E  只反映了  与  各自的平均值，方 差 D  、D  只反映了  与  各自离平均值的偏离程度，它们对  与  之间相互联系不提 供任何信息。前面已经指出，二维随机变量 (,) 的密度函数 p(x,y)或分布列 p ij 全面地描 述了 (,) 的统计规律，其中包含有  与  相互联系的内容。如同数学期望和方差一样， 当然也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。现在我们已经发现当  与  相互独立时，有 E ( − E ) (  –E  )=0 （3.76） 也就是说，当 E ( − E ) (  –E  )  0 时，  与  肯定不独立。这说明 E ( − E ) (  –E  )的数值在一定程度上反映了  与  相互间的联系。因而我们引入 下述定义。 定义 3.9 若 (,) 是一个二维随机变量，又 E| ( − E ) (  –E  )|<  则称 E ( − E ) (  –E  )为  与  的协方差，并记作 Cov (,) ，即 Cov (,) =E ( − E ) (  –E  ) （3.77） 由协方差的定义可知它具有下述性质： (1)Cov (,) = Cov (, ) ； (2)若 a、b 为两个任意常数，则 Cov (a ,b) =ab﹒Cov (,) (3) Cov ( , )  1 + 2  = Cov ( , )  1  + Cov ( , )  2  协方差的数值虽然在一定程度上反映了  与  相互间的联系，但它还受  与  本身 数值大小的影响。譬如说，令  与  各自增大 K 倍，即  = K 1 ，1 = K ，这时  与  间的相互联系和  与  间的相互联系应该是一样的，可是反映这种联系的协方差却增大了 K 2 倍，即有