量子力学习题课 第五次作业兼期中tips By你们的量子 力学助教
量子力学习题课 第五次作业兼期中tips By 你们的量子 力学助教
Part第五次作业 问题1(表象的变换)自旋为1的粒子的自旋角动量S在x,y,z三个方向上的分量分别 记作S,S,S2,它们满足对易关系 Sr, Sy= ihs 以及循环置换的形式.它们的矩阵形式是 01 01,S 000 0 010 0 注意到S2具有对角形式,可以说这是在S2表象中的表示 另一方面,我们还可以把它们表示为 00 J=边00-1,J=i000,J=边100 100 000 可以验证,(2)中的表示也满足(1)式中的对易关系.以下令h=1. 我们的目的是,找到一个酉变换U,使得USU=J,其中k=x,y,2.为此,我们可以先 考虐S2和J2的本征向量,分别记作)和|),这里的下标i,j∈{-1,0,+1},对应于 S2和J2的本征值
Part I 第五次作业
+)=|0,=1,(-=|0 n+1) n-1) 0 然后构造一个西变换V, V=|+1)(+1+m)(o|+|n-1)(-1 容易验证,VS2V=J但是,让V作用于S2和S之后,发现 vSp /0 01 000,Vsvt=00 100 010
Solution 1 由于Jz2的本征矢可以乘一个任意的相位因子,于是将酉变换V写成更一般的形式,如下 V= an+1)(s+1l+Bno (Col+rn-1)(c-II a y 0√20 ·So| ution2 沿着上述过程继续,希望找到一个与J对易的矩阵W,使得: w(VS-vt)wt=Jr, w(VS,vt)wt=J 与J2对易的矩阵在其表象下是对角的, ∑ AilSs 000 0 10|+入 000+入 000 00
• Solution 1 • Solution 2
问题2( Heisenberg绘景)A和B表示两个自旋1/2粒子,二者之间的相互作用是 Hπ=-gσA⑧σB,g是耦合常数.忽略两个粒子自身的哈密顿量,整个两体系统的哈密 顿量就是H=Hm,时间演化算子是, cos gt sin gt 0 0 U(t) sechin sin gt cos gt 0 00 cos gt -sin gt 0 sin gt cos gt (a)在 Heisenberg绘景中,写出A粒子的力学量a4随时间变化的形式 (b)在 Heisenberg绘景中,写出B粒子的力学量aB,oB,oB随时间变化的形式 注如果利用 Baker-Hausdorff公式 eA Be-A=B+[A, B+A,A, B l+ MA,[A,A,Bll+ 那么未必需要用到U(1)的矩阵表示