子。宏观世界中总结岀的概念并不完全适用于徼观物体。要正确 了解实物微粒的波粒二象性,必须摆脱波和粒子的经典概念的束 缚,用新的量子力学的概念去理解。在1925到1927年间,测不准 原理和 Schrodinger(薛定谬)方程的提出,标志着量子力学的诞 生 测不准原理 测不准原理是由微观粒子本质特性决定的物理量间相互关系 的原理它反映了物质波的一种重要性质。因为实物微粒具有波粒 二象性,所以从微观体系得到的信息会受到某些限制。例如一个粒 子不能同时具有确定的坐标和动量(也不能将时间和能量同时确 定)它要遵循测不准关系。这一关系是1927年首先由 Heisenberg (海森伯)提出的 为了说明测不准关系,先介绍电子的单缝衍射实验,如图1.3 所示,一个沿y方向传播的电子,通过宽度为D的狭缝,落在荧光 C Tsing 图13电子的单缝衍射实验示意图 12
屏上通过狭缝之前,粒子在x方向的速度v1为零,动量分量p m也为零。对经典粒子,通过狭缝时总是走直线,一束这样的粒 子在屏幕上显示的宽度为D。而具有波性的电子通过狭缝时会展 宽,得到衍射图样,图中曲线表示屏幕上各点的波强度。曲线的极 大值和吸小值是由于从狭缝不同部位来的波发生互相叠加亏互相 抵消的结果。当两列波同相时,互相叠加得到更强的波;当两列波 反相时,互相抵消,强度减弱。 在屏幕上显示的第极小值,P点(和Q点),是从狭缝顶端 (A点)发出到达这点的波比从狭缝中部(O点)发出釣波少走半个 波长这两列波刚好反相,互相抵消。因此,出现第一衍射极小值的 条件是 OP-AP= 由于从狭缝到屏幕的距离比狭缝的宽度大得多,当CP=AP ∠PAC,∠PCA,∠A(O均接近90°。这样,出现第极小值的角 度(6)叮由下式给出 sing=OC/Ao D=A/D 从电f的粒性考虑,狭缝的衍射会使电子改变运动方向,大部 分电子在-0到+范围的角度内。落在屏幕上P点附近的电子, 在狭缝处它的动量的x分量为p Pr=p sinB 此p即为p在x方向的不确定度△p,所以 △px=psn6=p/D=h/D 已知关于坐标x的不确定度为狭缝宽度D,即△x=D,故得 p 这里只考虑落在主峰范围内的一级衍射,如果把这以外的二级衍 射等也考虑进去,则 △x△p≥h (1.10)
有时也用△x△px≥h/4r表示。这就是测不准关系式或称测不准原 理。它表明具有波性的粒子,不能同时有确定的坐标和动量,当它 的某个坐标确定得愈精确,其柞应的动量就愈不确定,反之亦然 两个址的不确定程度的乘积约为h的数量级。(1.10)式的关系 虽然是从单缝衍射实验引出的,但它是微观粒子的一个普遍特点, 也可从其他途径得到。 同样,时间t和能量E的不确定度也有类似于(1.10)式的测 不准关系 △E h/4π (l.11) △E是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1和E2之差,它不是 能量在给定时刻的不确定量,而是测量能量的精确度△E与测量 所需时间△二者之间所应满足的关系。 为了判断哪些物体其运动规律可用经典力学处理,而哪些则 必须用量子力学处理,(1.10)式提供了定量判断的客观标准。对 于宏观物体,由(1.10)式表明的不确定数量实在太小了,以至于对 我们所讨论的问题不起实际作用,可以认为宏观物体的运动同时 有确定的位置和动量,由于h实际上可以当作零看待,故服从经典 力学规律 例如质量为0.01kg的子弹,运动速度为1000m·s-1,若速 度的不确定程度为其运动速度的1%,则其位置的不确定程度为 h/(m·△v) =(6.6×10-3J·s)/(0.01kg)×1%X(1000m·s-1) 6.6×10-3m 但是对于在原子和分子中,具有上述速度和速度不确定度的电子, 这时位置的不确定度就不能忽略。 (6.6×10-34J·s)/(9.0×10-3kg)×1% (1000m·s-1) =7.3×10°m
△x值远远超过在原子和分了屮的电子离原子核的距离。 宏观物体在任意一时刻t,它的坐标x和动量p都有确定值, p=m(dx/dt),经d时间间隔后,粒子位置变为 x+dr ==rtprd a 因此在时间进程中,粒子沿着确定的轨道运动丽由测不准关系可 见,微观粒子的x和p不可能冋时有确定值,正好说明它不存在 确定的运动轨道,这也正是具有波性的微观粒子本质上区别于宏 观物体的标志测不准关系是微观粒子波粒:象性的客观反映,是 人们对微观粒了运动规律认识的深化。测不准关系不是限制人们 认识的限度,而是限制经典力学适用的范围。具有波粒二象性的徽 观粒子,它没有运动轨道,而要求人们建立起能反映微观粒子特有 的规律去加以研究,这就是量子力学的任务 比较微观粒子和宏观物体的特性可见: (1)宏观物体同时具有确定的坐标和动量,可用牛顿力学描 述;而微观粒子没有同时确定的坐标和动量,需用量子力学描述。 (2)宏观物体有连续可测的运动轨道,可追踪各个物体的运 动轨迹加以分辨;微观粒子具有几率分布的特性,不可能分辨出各 个粒子的轨迹。 (3)宏观物体可处于任意的能量状态,体系的能量可以为任 意的、连续变化的数值;微观粒子只能处于某些确定的能量状态, 能量的改变量不能取任意的、连续变化的数值,只能是分立的,即 量子化的。 (4)测不准关系对宏观物体无实际意义,在测不准关系式中, Planck常数h可当作0;微观粒子遵循测不准关系,h不能看作 0。所以可以用测不准关系式作为宏观物体与微观粒子的判别标 准。 直径处于纳米(nm)量级的粒子,如纳米材料,常常出现既不 同于宏观物体,又不同于微观粒子的特性,可称为介观粒子
2量子力学基本假设 科学理论是从大量实践中总结出来的,再经过实践的检验,证 明它符合客观的规律,这个理论才能成立例如热力学的三个基本 定律,牛顿力学的三个定律等都是经过实践检验的客观规律。 量子力学是描述微观粒子运动规律的科学。电子和其他微观 粒子不仅表现出粒性,而且表现出波性,它不服从经典力学的规 律经典力学是总结宏观物体的运动规律而建立的,它不能应用于 微观体系微观体系遵循的规律叫量子力学,因为它的主要特息是 能量量子化和运动的波性。量子力学的基本原理是根据微观粒子 的波性,经过许多科学家[如E. Schrodinger,w. Heisenberg,M Born以及P.A.M. Dirac(狄拉克)等]的大量工作总结出来的,它 是自然界的基本规律之 量子力学包含若于基本假设,从这些基本假设出发,可推导出 些重要结论,用以解释和预测许多实验事实。经过半个多世纪实 践的考验,说明作为量子力学理论基础的那些基本假设是正确的 下面介绍量子力学的基本假设以及由这些假设引出的基本原理。 1-波函数和微观粒子的状态 假设I对于一个微观体系,它的状态和有关情况可用波函 数y(x,y,2,t)表示。业是体系的状态函数,是体系中所有粒子的 坐标函数,也是时间的函数。 例如对一个两粒子体系,y=y(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t),其中 x1,y1,x是粒子1的坐标;x2,y2,z2是粒子2的坐标;t是时间 y的形式可由光波推演而得,根据平面单色光的波动方程 y= Aexp[i2x(x/A-)],将波粒二象性关系E=hv,p=h/A代 入,得单粒子一维运动的波函数 Y Aexp[(i2T/h)(xp,-Et)] (1.12) 16