3 德里卟变换光清学 285 同光程差的旁轴光线的存在势必导致干涉图调制讯号的扩展，从而形响实验测得的光 结果。可以证明，这种彩响之一是使实验调昼谱向低被数方向略有漂移，之二是使波数 扩展，这也就是说，ILS函数不再是前面所述的sic函数，同时它也确定了一个分辨率 极限，使得人们不能通过不断增大最大光程差L的方法来不断提高傅里叶变换光谱仪的 分辨率 对一个光源或人射孔径所张这体角为Q=2(1-c05)的扩展源，其干涉图的一 表达式为： Ip(x,2RTB ()sine()cot2(1d (18) 若扩展源铜射的是波数为的单色辐射，则 In(,=2R0siae(cos2mx(1-号】 (19) 因而傅里叶变换光谱仪测得的单色扩展源的复原光谱为： Bn（y=rof sine(色玛)ea-o/eds (20) 经过运算进一步可得 Bn(7)=7r8et(.动 (21) 式中 41=1-0/2x》 (2) 4=可4 式(21)表明，一个所张立体角为口的单色扩展源辐射的波数为的谱线经干涉光谱学方 法测量后，并暇定光程差→∞，为一平均波数为 Vaver=%(1-pj4r） (23) 波数扩展范围为 8=-1=可P/2x (24) 的矩形府光谱带。这一波数扩展范围确定了在扩展源情况下用傅里叶变换光谱方法可 能达到的分辨率极限。为对这一分辨率极限有一数量概念，我们考虑一架典型的迈克尔
386 物是半进展 2卷 逊干涉仪，其准直镜焦距F=115m严，光源或人射孔径直径为5m,井且在远红外波段 工作，。=200减米，则 8≈0,02雨米-1 4,傅里叶变换的实榷，干涉图取样，-： 上一节已经指出，用傅里叶变换方法计算复原光谱B()时，我们事实上只能采用 式(13)，即只对-L到+L范围内的干涉图进行德里叶逆变换。或者在干涉图对称，实 验仅记录单边干涉图情况下，在·到+L范图内计算干涉图的傅里叶逆变换。 然而我们还要指出，为用电子计算机进行数值计算，即使在-L到+乙范图内，我 们也不能对整个干沙图实塘德里叶逆变 ,即我们不能以无根小的光差同隔取样干涉 图并实施变换，而只能采用有限大小的相等间隔心x取样干涉图，如图8所示意那样 井对之实施傅里叶逆变换。 在实验上，为以相等的光程差间隔山x取 样于渗围，在动镜连续移动情况下，可以每隔 (a) 相等时间间隔记录干涉图的干涉强度。或 T%A 者在由步进马达动动镜情况下，按岁读出干 涉图。自然也可借用激光参考讯号确定恒定光 程楚间隔来读出千涉图。 无论采用什么方法取样干涉图，在数学上 都意味着用一个狄拉克5函数来乘式(10)所 距R 表达的干涉图，即 干涉图及其取样示意图。()干涉，() ()=I()I(x-n4x) 以dx的间隔取样的干涉图 =Ip(x)T(x)-LH(x-x) (25) 上式中下脚标：表示干涉图乘以矩形载短函数T(x), 上脚标表示经狄拉克函数捷 取样的干沙图，所以(x)就叫微取样于涉图。函数山(x-:)就简称为族函数， 轻情况下，梳函数定义为： )=三- (26) 枚函数的一个至关重要的性质是它的德里叶变换仍是一个枕函数。 FT}I(ax=。1u(o) (27) 我们来讨论式(25)的傅里叶逆变换，利用桃函数的性质，将式(25)改写为： 1(x)=1(x山() (28)
3 傅里时变换光谱学 287 为了不致在得里叶变换运算过程中损失光遵信息或浪费计算时问，取样间隔x的选取 是十分重要的。信息论的取样定理表明，x应满足下列条件 Ax≤1/2p. (29) 式中严是用光学滤光片，或在干涉图快扫描模式情况下用电子泌波器，或在一般情况 下用数学德波法确定的被研究光谱的极大波数。下面在讨论式(28)的德里叶逆变换的过 星中，我们将同时闲明取样定理如何限制4x的选取。 图9一G为按研究光谱B(”),其波数范围为0到。一为适用数学方法，图中我们已 假定()为阀函数，图9-b是它通过干涉仪后产生的干涉图。国9一©是如上讨论的用 于取样干涉图的函数。它的傅里叶变换也是枝函数，记为山（1），如图9一 所示。 t) 条 (o △A△☑AL B) 性，周期为d￥=1/dx 按卷积定理，复原光谱，即(x)的傅里叶逆变换为： B”(D)=8(P)★山(F) A￥ 或 =8()★山（已 (30) 式中 山，(1d)=山(p/dp)★1() (31)
28 物理学进展 2卷 是一系列周期性的位于间隔为d可=（dx)的枕函数棒值的sic函数，其半宽为(1/2L) 左右。 B:(p)如图9一6所示，可见复原光谱是一周期函数，其中0到-4P/2的复原谱可 看作是0到+4下/2区间复原谱相对于可=0轴的镜象，其他波数区域的谱测是-4，/2 到+4P/2区间的复原光谁位移n47距离(=1,2,3,. 一)后获得的 如的修 4下，.附近，不同周期性区间上的复原谱互相交叠，从而导致它骑变为如图10一c 所示的形快。 A B() 0724 图10 说男干图取样问两4x必须满足条件x<1的示意国。(o)光图及其影象，()在 虚线示一处的复原，可见在=士 图10-b所示的谱囊加而获得的最终的复职潘，可见在高须端已弱曼西变。 装萄法旅通数山是精叶宝热的益员。山（宁尚民影剥：红所 上述号4口≥”的条件即意味着取样间隔dx必须满足条件力x≤12下，此即方程 式(29)的结果。 上述讨论表明，只要取样间网红不大于1/27”就不会导致复限清陆变和损尖光 谱讯息。4×远小于1/2可 也是不必要的，因为这意味着需要进行博里叶变换数值计算 的数据量的显著增加，这只是花费计算机时间而不会增添任何光谱信息 。这种情况常称
3 德里斗变快光潜学 289 为过度取样。 阪便指出，在被研究光谱波数下限不为零面是某一有限波数”。时，干涉图的取料 闻离可以比式29)确定的值大。取释间隔必须泻是的更一般的条件是 1 2(7-v) (32) 5.傅星叶变换光谱学方法的优点5，- 我们已经指出，傅里叶变换光讲学方法的基本优点是多频道优点和高通过景优点， 现在我们来定量地时论傅里叶变换光谱学方法的这两个基本特征。 当入们在时间T内以分辨率部利盛一个从波数：扩展到的宽带光游时，被测量的 进元数为： N=(-可)/85=P/8产， (33) 如果人们采用传统的色散型光谱位，则测量每一个谱元时，来自光源的所有其他谱元的 能量未被探测器接收到而白白耗散了，测昼每个谱元的时间为T=TN。但若人们保 用的是博里叶变换光谱仪，则所有谱元的能量同时被探澜器接收，测量每一个谱元的时 图花服。平为色故都型充泽仅的Y倍。达议是鱼叶室换光收多颜道优直的 可以证明，如果噪声是随机的并且与讯号电平无关，在实验上这也就是探测器 噪声限情况下，测登时间廷长N倍导致测量讯噪比提高√N倍。 图11给出博里叶变换光谱仪实现多频道优点的示意图。它采用单个探褪器，每一波 数为的谱元，用一余弦函数©0s2f来编，时间领率：由下式给出 f行=2pw (34) 式中是干涉仪动镜的移动速堂，这些编码过的讯号在时间T内同时被魂测，即在N个时间 单元☑T内同时被观测。所以如果在色散型光谁仪中探测器接收到的波数为”的清尤的 讯号强度为： 则在傅里叶变换光谱仪中同一谱元的讯母强度为， B.Gdi-N(B.()T) (35) 可见探测器记 下米的讯号强度增加N倍，而以均方根值为代表的噪声增加√倍。从 而使测讯躁比提高√下倍。这就是博叶变换光谁学方法多道优点的定量墙述。 为对多烦道优点的大小有一数量概念，我们可以举通常因体远红外光谱测量为例。 以0.5Cm的分辨事测量0一500cm~波段的谱，即测量1000个谱元，这时多须速优点导