第7卷第3期 智能系统学报 Vol.7 No.3 2012年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2012 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201110008 容纳矛盾逻辑系统与悖论 张金成 （中央党校函授学院，安徽广德242200) 摘要：分析了目前各种容纳矛盾逻辑系统的不足，提出了正域、反域、不动域的概念，进而发现悖论是逻辑思维领 域的不动点，建立了一个容纳矛盾的逻辑系统S,并给出了系统S的语义模型，证明了系统S的元定理.在系统S中， 命题演算被分成3个独立的域，正域、反域中所有经典逻辑的定理与演算模式都是有效的：不动域是一个包含矛盾 的域，在不动域中，可以证明悖论是一个定理.系统S与Da Costa的次协调逻辑系统Cn相比较，它不但可以容纳矛 盾，并且可以把矛盾解释清晰.以此逻辑系统为基础，可以建立一个容纳矛盾的数学基础。 关键词：逻辑系统；矛盾；悖论；正域；反域；不动域；次协调逻辑系统. 中图分类号：TP18;0141文献标志码：A文章编号：16734785(2012)03020608 A logic system which accommodates contradictions and paradoxes ZHANG Jincheng (Correspondence School of the C.P.C.Central Party School,Guangde 242200,China) Abstract:The insufficiencies of various currently used logic systems which accommodate contradictions were ana- lyzed in this paper.The concepts of a positive field,inverse field,and fixed field were put forward,and the para- dox was found to be the fixed point in the field of logical thinking.A new logic system S accommodating the contra- dictions and a semantic model of the system S were built,and then the metatheorem of system S was proven.In the system S,the propositional calculus was divided into three separate fields.All the schemes of calculus and theo- rems of classical logic were valid in the positive or inverse fields.The paradox,including the contradiction nature, could be proven as a theorem in the fixed field.Compared with the Da Costa paraconsistent logic system C.,the system S can not only accommodate the contradictions,but also interpret them clearly.Based on this logic system, a foundation of mathematics which accommodates contradictions can be established. Keywords:logic system;contradiction;paradox;positive field;inverse field;fixed field;paraconsistent logic system 迄今为止，在数学的各个领域，已经建立了很多。因为经典逻辑有一个“邓斯·司各特定律A, 数学演绎系统，如自然数系统、欧氏几何系统、公理 A上B”,即矛盾将导致一切都成立，一切都不成立， 集合论系统、群论系统等。 因此该体系是无用的 罗素在《数学原理中》中给出的命题逻辑演算 无矛盾的演绎逻辑系统已经发展得很完善，但 系统，是逻辑演绎系统.在命题逻辑演算的基础上， 由于悖论及处理矛盾的需要，近来又出现了容纳矛 希尔伯特又建立了谓词演算系统，后来经过逻辑学 盾的逻辑系统 家的简化、完善，形成了完整的逻辑演绎系统.演绎 系统的本质特征是系统内部的无矛盾性，如果一个 1矛盾的再研究 演绎系统可以得出矛盾，那么这个系统就会崩遗.经1.1容纳矛盾的逻辑系统的现状 典逻辑认为矛盾即为错误，因此经典逻辑排除矛盾。 在数学领域中，人们逐渐意识到矛盾的不可排 在经典逻辑中若出现矛盾将导致整个体系“崩溃”， 除性，自从20世纪60年代以来，一些逻辑学家开始 研究在数学、逻辑中容纳矛盾，他们希望放弃一致 收稿日期：2011-10-24 通信作者：张金成.E-mail:656790205@qgg.com 性，或者兼容矛盾，因此产生了一门崭新的逻辑
第3期 张金成：容纳矛盾逻辑系统与悖论 ·207· 容纳矛盾的逻辑， 作2条直线与已知直线平行 目前有关容纳矛盾的逻辑的形式系统有很多， 3)黎氏平行公理V:过直线外一点，不可以作 如美国逻辑学家R.Brandom的不协调逻辑、澳大利 直线与已知直线平行 亚学者Priest的悖论逻辑、巴西逻辑学者Da Costa的 以上3种相互矛盾的平行公理与绝对几何公理 次协调逻辑2] 体系结合，可以产生3种相互矛盾的几何，即欧氏几 在对待矛盾的形式处理上，不同的逻辑也有不 何、罗氏几何和黎氏几何.用V表示平行公理的否 同的处理方式，他们都以小心谨慎的态度改造经典 定命题，在绝对几何公理体系中，Π长V,且ΠH 数理逻辑.但是为了容纳矛盾，其逻辑系统的人造成 V,V在Π中是不可判定命题，即第5公理在绝对 份太多，并不是对自然界和人类思维领域本身应有 几何体系中是独立的例 的矛盾规律的发现，他们所建立的形式系统还是探 欧氏几何与非欧几何可以分别表示为ΠU 索性的、初步的和不成熟的， {V}=I,Ⅱ，Ⅲ，N,V欧氏几何公理体系、ΠU 笔者认为在数学、逻辑中容纳矛盾这种方案是 {V}={I,Ⅱ，Ⅲ，V,V{非欧几何公理体系 正确的，只要建立起正确的形式系统，就可以建立一 欧氏几何公理体系ΠU{V}={I,Ⅱ，Ⅲ，V,V} 个容纳矛盾的数学基础.无论是不协调逻辑、超协调 的内部是相容的，非欧几何公理体系ΠU{V}三 逻辑，还是次协调逻辑，这些逻辑系统仅仅能容纳矛 {I,Ⅱ，Ⅲ，V,V的内部也是相容的.但是ΠU 盾，不能彻底解决矛盾，这是因为这些逻辑系统在矛 {V}与ΠU{V{是矛盾的，所以ΠU{V}与 盾的本质规律的形式表述上是不精确的.本文在对 ΠU{V}不能合并在一起，它们分别处于2个不 欧氏几何与非欧几何的矛盾进行研究的基础上，提 同的领域，即欧氏几何领域与非欧几何领域.从这里 出一个容纳矛盾的新系统S. 可以看到，矛盾可以在不同的领域成立 1.2相互矛盾的系统 欧氏几何学、罗氏几何学、黎曼几何学是3种互 19世纪初，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在试图 有区别的几何学，这3种几何学各自所有的命题都构 证明欧氏几何的第5公理（平行公理）时，发现了 成了一个严密的公理体系，各公理之间满足一致性、 “平行公理”既不能被证明，也不能被否证，欧氏几 完备性和独立性，因此这3种几何学都是正确的. 何平行公理是独立的，从而发现了一种全新的几 从罗巴切夫斯基、黎曼创立的非欧几何学中，可以 何—非欧几何（罗氏几何）.后来，德国数学家黎 得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互 曼又发现了另一种非欧几何—黎氏几何. 相不矛盾的一组假设都有可能提供一种新的理论. 非欧几何与欧氏几何相比，具有如下特点： 般地，用A表示矛盾的正命题，A表示矛盾 1)欧氏几何与非欧几何有几条公理是相同的； 的反命题，以上A与A是一种相互矛盾的否定方 2)欧氏几何与非欧几何有1条公理是相矛盾的： 式，但它们能在不同的条件下成立，这种可以在不同 3)欧氏几何与非欧几何内部是相对一致的，但 条件下成立的思维方式，称它为辩证矛盾思维.它正 是欧氏几何与非欧几何之间是相矛盾的； 是非欧几何产生的思维方式，其本质是研究不同领 4)欧氏几何与非欧几何是相互翻译的，即欧氏 域中相互否定的命题的表示和逻辑规律. 几何与非欧几何是同构的， 1.3正域、反域与不动域 类似于非欧几何产生的例子，在科学界还有很 把一个原命题成立的领域叫做正域，而把相对 多，具有一般的规律性，这种思维方式很值得研究， 于正域之外的其否定命题成立的领域叫做反域 本文试图把这种思维方式一般化，抽象出一般的思 例1正数领域、实数领域、欧氏几何领域叫做正 维公理，模拟其思维过程，建立一个新的逻辑系统 域，则负数领域、虚数领域、非欧几何领域叫做反域 人们知道，欧氏几何由5组公理组成：结合公理 正域与反域是什么关系？正数领域与负数领域 I18、顺序公理Ⅱ14、合同公理Ⅲ-5、连续公理 可以一一对应；实数领域和虚数领域也可以一一对 V,-2和平行公理V.其中I~V称为绝对几何公 应；欧氏几何领域和非欧几何领域可以相互翻译等 理体系，记为绝对几何公理体系Π={I,Ⅱ，Ⅲ， 等.通过分析可知，一般现实情况下，正域与反域是 V}.平行公理有以下3种： 一种此消彼长的不等价关系，这是因为矛盾的双方 1)欧氏平行公理V:过已知直线外一点，只能 发展不均衡，某一方处于缺损状态；但在理想状况 作惟一一条直线与已知直线平行. 下，正域与反域之间的关系是：性质相反，一一对应 2)罗氏平行公理V:过直线外一点，至少可以 的两个同构世界
·208 智能系统学报 第7卷 很多正域与反域是一种等价的均衡关系，数学 的，因此对正反2个域上都成立的命题，不再用上标 理论上、物理理论上的矛盾域多是等价的.因此，讨 +α、-来区分这2个域，而上标只标为a,或者与 论正域与反域上等价的逻辑关系具有重要意义， 经典逻辑公式一样不标.如A“→(B+A“)和A→ 定义1若有一个正世界个体域+α={t1,t2, (B→4)在正反2个域上都成立，这2个表示的是一 …,n},通过某种反变关系∫，所得到一个新的反变 个意思 世界个体域-a={f(t1),f(t2),…,f(tn),且≠ 正域和反域往往不是对立的，它们中间还可能 f(),在+α中的元素都具有性质P,即命题P(t) 有一个既具备正域性质又具备反域性质的中间域， 成立；在-《中的元素都具有性质P,即命题 如正数和负数中间有中间数0. P[f代t)]成立.把+a叫做正域，-a叫做反域，反 在正域和反域中，若存在某些个体k,k2,… 域也记为-={t1,t2,…,tn. kn,通过某种反变关系f,有f代k)=k:,则把个体k1, 在定义1中，+：与-α是对等关系（均衡的、 k2,…,k所形成的集合叫做关于映射f的不动域， 同构的或可翻译的) 记为+e={1,k2,…,knf,-e={f(k),f(k2),… 在以上概念的基础上，把矛盾命题重新进行形 fkn)}.由于f(k1)=k1,f(h2)=k2,…,f(kn)=kn, 式化描述如下. 所以+e={k1,2,…,kn}={f(k1),f(k2),…, 1)A:在欧氏几何领域，过已知直线外一点，只能作 f(kn)}=-e. 惟一条直线与已知直线平行，形式描述为A+“, 定义3对于一个正域+a={1,2,…,t}与反 2)非A:在非欧几何领域，过已知直线外一点， 域-a={f(t1)f(t2),…f(n)}上的反变关系f,若 并非只能作惟一一条直线与已知直线平行，形式描 存在某些个体k,2,…,k,通过反变关系f,有 述为A“. 代k)=k:,则把个体k1,k2,…,压n所形成的集合叫做 A*“表示正域+α中的命题A,Aa表示反域-a 关于映射f的不动域，统一记为 中的命题A,即在非欧几何领域，过已知直线外一 e=+e=-e={k1,k2,…,kn}= 点，只能作惟一一条直线与已知直线平行.A“表 {f(k),fk2),…fk). 示反域-a中的命题A,A“表示正域+α中的命 例2若f代x)=-x,则正数领域、负数领域关 题A,即在欧氏几何领域，过已知直线外一点，并非 于映射f(x)=-x的不动域是e={0. 只能作惟一一条直线与已知直线平行.这样，矛盾命 A是集合α上的命题，A*“、A“、A°分别是正 题都有2种表示方式. 域命题、反域命题和不动域命题 定义2在相同域上的否定命题A与A“(即 不动域是从正域到反域的映射过程中保持原地 Aa与A+“或A“与A“),称之为经典矛盾命题； 不变的所有个体形成的集合，不动域既具备正域性 在不同域上的否定命题(A+a与A“或A“与 质，又具备反域性质.在不动域中P(k)与P[(k)] A*“),称之为非经典矛盾命题或辩证矛盾. 相互否定，即自身与自身相互否定，不动域与不动点 实际上，矛盾命题在不同域上成立，矛盾也就被 相类似，函数的不动点，在数学中是指被这个函数映 化解了，辩证矛盾就是已经被化解或者解释清晰后 射到其自身的一个点，设∫是从x到x的一个映射 的矛盾. 或运动，把每一点x移到点f(x).方程f(x)=x的解 由于公式的变化，公理在不同域中有些变化，经 恰好就是在∫这个运动下被留在原地不动的点，故 典逻辑公理4]在正域中变为： 称不动点.不动点就是自指代方程的解5， 1)A*a→(B+a+A*); 例3设在平面上给定一个以0为中心，R为 2)(A*a→(B*a→C*a))→((A*a→B*a)→ 半径的圆C,P是平面上异于点O的任一点，在射线 (A*a→C*a); OP上，考虑其中一点P'满足OP·OP'=R,称P'为 3)(A+a→B*a)→((A*a→B+a)→A+a). P的反演点，将点P变到点P'的过程称为反演变 经典逻辑公理在反域中对应变为： 换.反演变换是一个关于圆的对称变换，容易证明， 1)A4→(B-a+A); 圆外的每一点P通过变换对应于圆内的每一点P, 2)(Aa→(B→C-a)→((Aa→B-a)→ 圆心O对应于平面上无穷远点，圆上的点对应它自 (Aa→Ca)); 己，即圆上的点是关于反演变换的不动点。 3)(Aa→Ba)→((Aa+Ba)Aa) 因此，正域与反域是关于某个映射∫的对称变 由于经典逻辑的公理在正域和反域上都是成立 换，+中的项t对应-a中的项t,不动域中的项
第3期 张金成：容纳矛盾逻辑系统与悖论 ·209· 对应它自己， y=x的交点. 1.4正反域对偶变换公理 下面将进一步研究跨域的命题之间的关系，即 正命题P+“与反命题P“之间是什么关系？ 首先考虑欧氏几何与非欧几何之间的关系，在 证明非欧几何（以罗氏几何为例）的相容性时，使用 =1- 了一种单位圆的内部的线性变换，即非欧几何的庞 加莱模型.有了由一个圆代表的非欧平面和非欧变 换，那么以此可建立非欧点、非欧直线、非欧角、非欧 距离、非欧圆、非欧三角形等非欧概念，并建立相关 的非欧命题.每一个非欧几何的概念、命题都可以变 图1号是不劲点 换（翻译）成欧氏几何的概念和命题，反之也成立 通过大量例子，可以发现P*a与一P“是等价 Fg,1子stheedpont 的，如欧氏几何与罗氏几何是同构的，它说明一个命 把正域看成“大于子的实数”的集合，即+a 题等价于它反域中的否定命题，即应有公理P+“+ P成立 x>子x∈R;反域看成“小于子的实数”的集 定义4正域+a、反域-ax、不动域e集合的并 集U,即U=+aUeU-a,称之为全域 合，即-a=x<号xeR.设P()为命题时， 设命题P是关于正域+a、反域-a的一个划 分，若P=+a,则P=-a,f:U→U,:∈+a,t:∈ >子：若P()为命题，<号：如果>号 -a,t;=f(t:),P(t)+P(i). 根据以上分析，可以引进一条新公理：P*“+ 分<-号1-<子则<号，即P()一 p-a. P()如果s<号→-分>写1-分>子， 定义5称公理P+一P-“为正反域对偶变换 公理. 则>子，即P()一P().这就形成了类似悖论命 1.5悖论是逻辑思维领域的“不动点” 题P(x)+P(x),这个悖论的解就是不动域e= 为了弄清悖论的机理，还是从分析一个函数自 指代方程的不动点开始. {e=} 例4函数f(x)=1-2*,它的自指代方程是 一般地，函数y=代x),如果用x取代y,得函数 方程x=f(x),则把x=f(x)叫做y=f(x)的自指代 x=1-2*.该自指代方程经过无数次的自身迭代， 方程.如果方程x=f代x)有解，那么就是自指代 可以形成具有自相似结构的无穷级数： 方程的不动点. 点把实数集合分成2个性质相反的集合，其 *=1-2, 中一个集合中的元素满足性质P,另一个集合中的元 =1-1-)=1分+京 素满足性质一P,而不动点，可以看成具有2个矛盾 性质P与P的点，这就是悖论形成的内在机理 1、1 +1-)=1-+- 关于函数不动点有“Brouwer不动点定理”：设 [0,1]→[0,1]是连续映射，则必存在∈[0,1]， 使f(xo)=xo.这是一维的Brouwer不动点定理，不 动点定理可以推广到二维以及维欧氏空间中（即 (-1)*1」 平面上的单位闭圆盘B具有不动点性质，即任一连 续映射f:B2→B具有不动点). 如图1，函数代)=1-号的不动点是方程x= 不动点的性质已经不仅仅局限于代数和函数领 域，它已经延伸到集合论、离散数学和计算机等其他 1-之的解，即子，从图像上看是直线=1-宁与 各个领域61
210 智能系统学报 第7卷 下面看“罗素悖论”，集合分为2类：1)自身是 标c. 自身的元素，看成是正域.即+a={x|x∈x};2)自 2.2相同域中的命题演算定理 身不是自身的元素，看成是反域.即-x={x|一(x∈ 由于容纳矛盾系统S是经典逻辑的扩展，所以 x)}.现在构造第2类集合全体组成的集合R,即x∈ 所有经典逻辑的定理与演算模式在系统S中都是有 R+(x∈x),问集合R是哪类集合？即用R去自 效的. 指代，无论集合R是哪类集合，即能得到罗素悖论： 定理1在相同的域中，经典定理逻辑的所有 R∈R(R∈R)II 定理都成立，如： 在正域与反域之间存在一个不动域e={xl(x∈ 1)同一律：A°→A; x)∧(x∈x)},它既有正域性质，又有反域性质.罗 2)排中律：AVA°； 素集合R={x:x生x},是满足R∈R+(R∈R)的 3)不矛盾律：(A“个A): 解，是正域与反域的不动点.次协调逻辑的创始者 4)双否律：7A+A Da Costa-与Auda已经初步建立了正反域集合理 定理2A“,A“B,即经典邓斯·司各特定 论，并研究了罗素集合的一些性质.同样，逻辑思维 律仍然成立. 领域也存在不动点，无论什么悖论，它们都是“正反 以上定理说明，经典矛盾可以得出一切公式都 域对偶变换公理P+a+一P-a”在不动域e上的特殊 是定理，仍然导致系统整个演算崩溃。 表现形式 2.3跨越正域与反域之间的命题演算定理 2容纳矛盾系统S与悖论定理 由于P+“、P-“是跨越了2个不同的领域，利用 2个不同领域的变换，可以得到跨越了2个不同领 2.1容纳矛盾的新系统 域的一些新的演变定理. 在以上一阶语言的基本符号、形成规则和定义 定理3一P+a+Pa, 下，引入上述公理和基本符号，可以在经典命题演算 定理3是正反域对偶变换公理的另一种形式， 逻辑山的基础上建立如下系统. 说明了一个命题等价于它反域中的否定命题.例如 1)命题演算公理. “三角形内角和等于180”等价于反域中“三角形内 ①A→(B+A), 角和不等于180”。 ②(A→(B→C)→ 定理4(P*a+P“). ((A→B)→(A“+C)), 定理4说明了同一个命题在2个不同领域中不 ③A→(B+A°∧B), 是等价的.例如“实数域中，数的平方大于零（非零 ④AΛB→A“, 数)”与“虚数域中，数的平方大于零”不等价 ⑤A∧B→B 定理5P*aVPa ⑥A→AVB, 定理5说明了同一个命题必然在一个领域中成 ⑦B→AaVB, 立.例如“实数域中，数的平方大于零（非零数）”和 ⑧(A°→C)→ “虚数域中，数的平方大于零”必然成立， (B→C)→(AVB→C)), 定理6(P+∧P-). ⑨(A→B)→((A→B)→A), 定理6说明了同一个命题必然在2个不同领域 0AA 中不能同时成立.例如“欧氏几何领域中，三角形内 2)正反域对偶变换公理：P+a+Pa 角和是平角”和“非欧几何领域中，三角形内角和是 3)演绎推理规则.分离规则：若上A,且卜A°→ 平角”不能同时成立 B,则卜B 定理7在系统S中，(P*a∧P-a),P*a∧ 定义6由上述命题演算公理、正反域对偶变 一P“都不是定理（这在以下的语义模型中可以得到 换公理和演绎推理规则3个部分组成的系统，叫做 检验)，即辩证矛盾不必然是定理， 容纳矛盾系统S 定理8如果卜P+a,则上P+a∧Pa,即P+a 在系统S中，其中，a可以是+a,也可以是-α、 和一P“可以同时成立，即辩证矛盾可以同时成立. e或U;并且在同一域中，它们都是经典定理.其实α 由于系统S是一个处理矛盾的系统，它也可以 是+a、-a、e、U时，所有的变元都成立，这种所有变 被看成是一个容纳矛盾的系统.在系统$中，有一些 元都成立的公式就是经典公式，以后可以省略其上 公式是不可证的（见定理9~10），这在以后的语义