在发☑ 函数 1951 X(t,w1)=2cos(t),X(t,w2)=-2cos(t),tER. 且：P(w)=2/3,P(w2)=1/3. 求： ●一维分布函数F(0,x)和F(π/4，x); ·二维分布函数F(0,π/4；x,y): 17/57 Proof 易知： {{ 同时可以得到X(O),X(π/4)的联合分布 @x0={c经n (2,V2),3 GoBack FullScreen Close Quit
17/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ºÍ X(t, ω1) = 2 cos(t), X(t, ω2) = −2 cos(t), t ∈ R. ÖµP(ω1) = 2/3, P(ω2) = 1/3. ¶µ • òë©ŸºÍF(0, x) ⁄F(π/4, x); • ë©ŸºÍF(0, π/4; x, y). Proof ¥µ X(0) = ( 2, 2 3 −2, 1 3 X( π 4 ) = ( √ 2, 2 3 − √ 2, 1 3 ”ûå±X(0), X(π/4)È‹©Ÿ (X(0), X(π/4)) = ( (2, √ 2), 2 3 (−2, − √ 2), 1 3
在更 Question:X(0),X(π/4)相互独立吗？？ 1951 例3.3.5设随机过程 X(t)=Acos(Θ)，t∈R 其中k是正常数，随机变量A与⊙相互独立，A~U(0,1), 日~U(一π，π).试求过程的一维概率密度 18/57 Proof 首先设Y(t)=acos(⊙)，其中a为常数，易 求的Y(t)的一维概率密度函数为 -{ lyl a others. 注意到：Y(t)=X(t)川A=a,由全概率公式和独立性，可以得 GoBack FullScreen Close Quit
18/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Question: X(0), X(π/4) Ép’·Ìºº ~ 3.3.5 ëÅLß X(t) = A cos(Θ), t ∈ R Ÿ•k¥~Í, ëÅC˛AÜΘÉp’·, A ∼ U(0, 1), Θ ∼ U(−π, π). £¶LßòëV«ó› Proof ƒk Y (t) = a cos(Θ), Ÿ•aè~Íߥ ¶Y (t)òëV«ó›ºÍè fY (y) = 1 π √ a 2−y 2 , |y| < a 0, others. 5øµY (t) = X(t)|A=a, d V«˙™⁄’·5ßå±
在☑ 到： 1951 JxGa)=xA(la)hFa@）=厂xia(zla)da N6a=ma+ 19/57 GoBack FullScreen Close Quit
19/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit µ fX(t; x) = Z ∞ −∞ fX|A(x|a)dFA(a) = Z 1 0 fX|A(x|a)da = Z 1 x 1 π √ a 2 − x2 da = − 1 π log( x √ 1 − x2 + 1 )
数在 随机过程的数字特征 1951 定义3.3.6过程{X(t),t∈T的n维特征函数定义为 b(t1,t2,…,tn;01,02,…,0n) E(exp(i(0X(t)+02X(t2)+·…0nX(tn)) 称{(t1,t2,…,tn;01,02,…,0n)t,t2,…tn,n≥1}为X 的有限维特征函数族 20/57 定义3.3.7设{X(t),t∈T}是一随机过程. (1)称X(t)的期望mx(t)=E[X(t)]为过程的均值函 数（如果存在的话）： (2)如果t∈T,E[X2(t)]存在，则称随机过程{X(t),t∈ T}为二阶矩过程 此时，称函数y(t1,t2)=E[(X(t)-mx(t)(X(t2)-mx(t2)] GoBack FullScreen Close Quit
20/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ëÅLßÍiA ½¬ 3.3.6 Lß{X(t), t ∈ T}nëAºÍ½¬è ψ(t1, t2, · · · , tn; θ1, θ2, · · · , θn) E (exp(i(θ1X(t1) + θ2X(t2) + · · · θnX(tn)))) °{ψ(t1, t2, · · · , tn; θ1, θ2, · · · , θn); t1, t2, · · ·tn, n ≥ 1}èX kÅëAºÍx. ½¬ 3.3.7 {X(t), t ∈ T}¥òëÅLß. (1) °X(t)œ" mX(t) = E[X(t)]èLß˛äº Í(XJ3{). (2)XJ∀t ∈ T, E[X2 (t)]3ßK°ëÅLß{X(t), t ∈ T} è ›Lß. dûß°ºÍγ(t1, t2) = E[(X(t1)−mX(t1))(X(t2)−mX(t2))]