数传有 则{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T都是随机过程. 1951 83.3 有限维分布与Kolmogorov.定理 定义3.3.1随机过程X={X(t),t∈T},对t∈T, F(t;x):=P(X(t)<x),xER 12/57 为随机变量X(t)的分布函数，称为过程X的一维分布函数. 对任意s,t∈R,二维随机变量(X(s),X(t)联合分布函数 F(s,t;x,y):=P(X(s)<x,X(t)<y). 称为随机过程X的二维分布函数。 定义3.3.2对任意有限个1，…，tn∈T,定义随机过 GoBack FullScreen Close Quit
12/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit K{X(t), t ∈ T}, {Y (t), t ∈ T}—¥ëÅLß. §3.3 kÅë©ŸÜKolmogorov½n ½¬ 3.3.1 ëÅLßX = {X(t), t ∈ T}ßÈt ∈ T, F(t; x) := P(X(t) < x), x ∈ R èëÅC˛X(t)©ŸºÍ, °èLßXòë©ŸºÍ. È?øs, t ∈ R, ëëÅC˛(X(s), X(t)) È‹©ŸºÍ F(s, t; x, y) := P(X(s) < x, X(t) < y). °èëÅLßXë©ŸºÍ" ½¬ 3.3.2 È?økÅát1, · · · , tn ∈ Tß½¬ëÅL
数传有☑ 程的n维分布F,…tn(1,…,cn)小： 1951 F,t(c1,…,cn)=P(X(t）<x,·,X(tn）<xn. 随机过程的所有的一维分布，二维分布，·，维分布等等 的全体 {PF,…,tn(x1,·,xn),t1,·,tn∈T,n≥1} 13/57 称为随机过程{X(t),t∈T}的有限分布族 注：知道了随机过程的有限维分布就知道了{X(t),t∈ T}中任意个随机变量的联合分布.也就掌握了这些随机变 量之间的相互依赖关系， GoBack FullScreen Close Quit
13/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ßnë©Ÿ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn)µ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn) = P(X(t1) < x1, · · · , X(tn) < xn). ëÅLߧkòë©Ÿßë©Ÿß· · · , në©Ÿ N {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} °èëÅLß{X(t), t ∈ T}kÅ©Ÿx. 5µ ëÅLßkÅë©Ÿ“ {X(t), t ∈ T}•?ønáëÅC˛È‹©Ÿ. è“›º ˘ ëÅC ˛ÉmÉpù6'X
在发☑ 分布族的性质： 1951 (1)对称性 对(1,2，…，n)的任一排列(11，j2,…,jn),有 F1,…,tn(xi,…,cin） =P(X(t)<x,…,X(tn)<xn)》 =P(X(t1)<xh,...,X(tn)<xi) 14/57 =F,…,tn(c1,·,Cn). (2)相容性 对于m<n,有 F,…,tn,tn+1,…tn(c1,…,Cm,0o,…,0∞）=F4,…,tn（c1,…,Cm）. GoBack FullScreen Close Quit
14/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ©Ÿx5ü: (1) È°5 È (1, 2, · · · , n)?ò¸(j1, j2, · · · , jn)ßk Ftj1 ,··· ,tjn (xj1 , · · · , xjn ) = P(X(tj1 ) < xj1 , · · · , X(tjn ) < xjn ) = P(X(t1) < xt1 , · · · , X(tn) < xtn ) = Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn). (2) ÉN5 Èu m < nßk Ft1,··· ,tm,tm+1,···tn (x1, · · · , xm, ∞, · · · , ∞) = Ft1,··· ,tm(x1, · · · , xm)
在园 KOLMOGOROV 1951 IN PERSPECTIVE Hitory of Mthematics Voline 10 15/57 4 GoBack FullScreen Close Quit
15/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit
传有复， 定理3.3.3设分布函数族{F,…,tn(c1,·,xn),t1,·,tn∈ 1951 T,n≥1}满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机 过程{X(t),t∈T},使 {F,…,tn(c1,…,xn,t1,…,tn∈T,n≥1} 恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布族。 注：随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 16/57 的完整描述，它是证明随机过程存在性的有力工具.但是在实 际问题中，要知道随机过程的全部有限维分布是不可能的， 因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过 程 例3.3.4设随机过程{X(t,w),t∈R}只有两条样本 GoBack FullScreen Close Quit
16/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 3.3.3 ©ŸºÍx{Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} ˜v˛„È°5⁄ÉN5ßK73òáëÅ Lß{X(t), t ∈ T}߶ {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} T–¥{X(t), t ∈ T}kÅë©Ÿx. 5µëÅLßkÅë©ŸºÍx¥ëÅLßV«A £„,ߥy²ëÅLß35kÂÛ‰.¥3¢ SØK•ßáëÅLß ‹kÅë©Ÿ¥ÿåUß œdß<Çé ^ëÅLß, ÍiA5èxëÅL ß. ~ 3.3.4 ëÅLß{X(t, ω), t ∈ R}êk¸^