第八章磁介质 §8-3边值关系与唯一性定理 在求解包含不同磁介质的体系时,需要知道磁介质界面上磁场的边值关系 8.3.1磁感应强度B B1)= 即B的法向分量连续(证明见附件3-1)。 8.32磁化强度矢量M M、-M, 8-3-2) (证明见附件3-2) 8.3.3磁场强度H 类似于M边值关系的推导,由安培环路定理可得 i0=n×(H1H2) (8-3-3) 除了理想导体和超导体外,通常i=0,所以 n×(H1H2)=0, (8-3-4)
第八章 磁介质 11 8-3 边值关系与唯一性定理 在求解包含不同磁介质的体系时 需要知道磁介质界面上磁场的边值关系 8.3.1 磁感应强度 B ( ) 0 n ⋅ B2 - B1 = 8-3-1 即 B 的法向分量连续 证明见附件 3-1 8.3.2 磁化强度矢量 M ( ) n M2 M1 i′ = × - 8-3-2 证明见附件 3-2 8.3.3 磁场强度 H 类似于 M 边值关系的推导 由安培环路定理可得 ( ) 0 n H1 H2 i = × - 8-3-3 除了理想导体和超导体外 通常 i 0=0 所以 n × (H1-H2 ) = 0 8-3-4
电磁学网上课件 本章撰稿人 即H的切向分量连续。(注意:H的切向分量有两个分量,边值关系要求各分量在边界上都要相等,也即H的切向分 量不但大小相同,方向也相同。) 834静磁场的唯一性定理阐述 1.表述:当磁场中有磁介质时,事先难以确知磁化电流分布,因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场。唯一性定理保证, 由髙斯定理、安培环路定理及B~H关系,加上必要的附加条件,就可以唯一确定静磁场。该定理能确保猜解的正确性。 (详见本节后续内容及§8-7。) 2.简单情形下的附加条件 ()设磁场空间为一封闭曲面S包围。若S有限,则给定Bx,且满足』B、dS=0;若S无限,则要求B趋于0 (2)磁介质各向同性,μ已知,但可以出现非均匀性和界面 (3)导体中的传导电流分布确知 3.证明:若解不唯一,不妨设为B1、H1和B2、H2。令B=B-B2,H=H1-H2,则B和H对应传导电流为Q,而S面上 Bs=0或Bs=0。对有限S,由于B和H线不可能起、止于,而只能在S内闭合,所以S内必有传导电流,与标下划线 一句矛盾。对S无限情形,B和H也不可能在S内闭合,因而必起、止于无穷远,则仍有S内传导电流非0的矛盾结 果。可见,必须B=0,H=0,也即B1=B2,H1=H2 8.35分区均匀各向同性介质中的静磁场 介质界面与磁感应线重合 由唯一性定理可证
12 电磁学网上课件 本章撰稿人 秦 敢 即 H 的切向分量连续 注意 H 的切向分量有两个分量 边值关系要求各分量在边界上都要相等 也即 H 的切向分 量不但大小相同 方向也相同 8.3.4 静磁场的唯一性定理阐述 1 表述 当磁场中有磁介质时 事先难以确知磁化电流分布 因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场 唯一性定理保证 由高斯定理 安培环路定理及 B~H 关系 加上必要的附加条件 就可以唯一确定静磁场 该定理能确保猜解的正确性 详见本节后续内容及§8-7 2 简单情形下的附加条件 (1) 设磁场空间为一封闭曲面 S 包围 若 S 有限 则给定 BSn 且满足∫∫ = S Sn B dS 0 若 S 无限 则要求 BS 趋于 0 (2) 磁介质各向同性 µ已知 但可以出现非均匀性和界面 (3) 导体中的传导电流分布确知 3 证明 若解不唯一 不妨设为 B1 H1 和 B2 H2 令 B = B1–B2 H = H1–H2 则 B 和 H 对应传导电流为 0 而 S 面上 BSn=0 或 BS=0 对有限 S 由于 B 和 H 线不可能起 止于 而只能在 S 内闭合 所以 S 内必有传导电流 与标下划线 一句矛盾 对 S 无限情形 B 和 H 也不可能在 S 内闭合 因而必起 止于无穷远 则仍有 S 内传导电流非 0 的矛盾结 果 可见 必须 B = 0 H=0 也即 B1=B2 H1=H2 8.3.5 分区均匀各向同性介质中的静磁场 1. 介质界面与磁感应线重合 由唯一性定理可证
其中B是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度(证明见附件3-3) 当传导电流对称分布时,由B6=210可直接计算B,而各介质中的磁场 B=叫H=山B0c (8-3-6) 介质界面与磁感应线垂直 与B线处处正交的曲面称“等磁势面”,以其为分界,填入不同的均匀各向同性介质。由唯一性定理,只要在填入的过 程中总电流分布形式不变,B线的几何位形必也保持不变,即B=CB0,其中B是无介质时的磁感应强度(证明见附件 3-4)。 求解步骤:由 B ∑0d=∑0 (8-3-7) 定出α,从而得到B。特别地,对一维对称情形,可直接由 B (8-3-8) 得到B,而 H B (8-3-9)
第八章 磁介质 13 H=B0/µ0 8-3-5 其中 B0 是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度 证明见附件 3-3 当传导电流对称分布时 由∫ 0 ⋅ = 0 ∑ 0 B dl µ I 可直接计算 B0 而各介质中的磁场 Bi=µµ0H = µiB0 8-3-6 2. 介质界面与磁感应线垂直 与 B 线处处正交的曲面称 等磁势面 以其为分界 填入不同的均匀各向同性介质 由唯一性定理 只要在填入的过 程中总电流分布形式不变 B 线的几何位形必也保持不变 即 B=αB0 其中 B0 是无介质时的磁感应强度 证明见附件 3-4 求解步骤 由 0 0 0 d I Li i i ∑ ⋅ = ∑ ∫ l Bµ µ α 8-3-7 定出α 从而得到 B 特别地 对一维对称情形 可直接由 0 0 d I L i ⋅ = ∑ ∫ µ µ l B 8-3-8 得到 B 而 H B 0 1 µ iµ i = 8-3-9
电磁学网上课件 本章撰稿人:秦敢 8.36例子 例8-3-1一圆环状磁介质与一无穷长直导 线共轴(图8-3-1)。设磁介质磁导率为 B 直导线电流强度为Ⅰ,求介质内外空间的 磁感应强度的分布和介质表面的磁化面 电流。 [解]本题属于介质界面与磁感应线重合 图8-3-1直线电流和磁介质圆环 的情形。撤去磁介质时的磁场B=2m 由式(8-3-6)求得介质内外空间B即B41 由式(8-3-2),结合式(8-2-3)和(8-3-4),求得界面磁化电流 =M.-M (B1-B) (-1) 例8-3-2在一同轴电缆(内、外导体半 径分别为n1、n2)中填满磁导率为1和μ2 的两种磁介质,各占一半空间,且介 质平面为通过电缆轴的平面(图8-3-2)。 设通过电缆的电流强度为l,求介质中 的磁场分布和介质一导体毗连面上的电 流分布。 [解]本题属于介质界面与磁感应线垂 直的情况 图8-3-2同轴电缆中的分区均匀介质
14 电磁学网上课件 本章撰稿人 秦 敢 8.3.6 例子 例 8-3-1 一圆环状磁介质与一无穷长直导 线共轴 图 8-3-1 设磁介质磁导率为µ 直导线电流强度为 I 求介质内外空间的 磁感应强度的分布和介质表面的磁化面 电流 [解] 本题属于介质界面与磁感应线重合 的情形 撤去磁介质时的磁场 r I B π µ 2 0 0 = 由式 8-3-6 求得介质内外空间 r I B r I Bi e π µ π µµ 2 , 2 0 0 = = 由式 8-3-2 结合式 8-2-3 和 8-3-4 求得界面磁化电流 r I i Mi M e Bi Be π µ µ 2 ( 1) ( ) 1 0 − ′ = − = − = 例 8-3-2 在一同轴电缆 内 外导体半 径分别为 r1 r2 中填满磁导率为µ1 和µ2 的两种磁介质 各占一半空间 且介 质平面为通过电缆轴的平面 图 8-3-2 设通过电缆的电流强度为 I 求介质中 的磁场分布和介质----导体毗连面上的电 流分布 [解] 本题属于介质界面与磁感应线垂 直的情况
取半径为r(r2)的圆形回路,由一维对称性,B9,01, B=44,:H1=B=-4 11 丌(1+)r 01x({1+)r 1+H B H1=“2( r(1+) 在r<1和pn2区域,B=H=M0。 M 12(1-1) 介质1处, 在r=n1处,i 丌(41+)1 1(2-1) 介质2处 丌(1+p 2(1-1) 介质1处 在r=r2处,2= =r(1+p)r2 1(H2-1) ,介质2处。 丌(1+p) 可见,尽管传导面电流和磁化面电流 分布不均,但二者之和仍各向同性,也即与撤 去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式 *附件3-1证明B的边值关系 B 如图8-3,设二介质界面为S,在S上取4,8- n为由介质1指向2的法向单位矢量。以 AS为截面作一柱形高斯面,其两底分别位于二介 质中,柱高趋于0。由高斯定理 图8-3-3B的法向分量续
第八章 磁介质 15 取半径为 r r1<r<r2 的圆形回路 由一维对称性 r I B r B 0 1 2 π µ µ π µ + = r I M r I H B M r I H r B I H r I B ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 0 1 2 π µ µ µ µ π µ µ µ µ µ π µ µ µ π µ µ µ π µ µ µ µ µ µ µ + − = + − = − = + = + ∴ = = + ∴ = 在 r<r1 和 r>r2 区域 B=H=M=0 在 r=r1 处 + − = + − = ′ = = = 2 , ( ) ( 1) 1 , ( ) ( 1) 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 介质 处 介质 处 r I M r I M i r r r r π µ µ µ µ π µ µ µ µ 在 r=r2 处 + − = + − = ′ = = = 介质 处 介质 处 2 ( ) ( 1) 1 , ( ) ( 1) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 r I M r I M i r r r r π µ µ µ µ π µ µ µ µ 可见 尽管传导面电流和磁化面电流 分布不均 但二者之和仍各向同性 也即与撤 去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式 *附件 3-1 证明 B 的边值关系 如图 8-3-3 设二介质界面为 S 在 S 上取∆S n 为由介质 1 指向 2 的法向单位矢量 以 ∆S 为截面作一柱形高斯面 其两底分别位于二介 质中 柱高趋于 0 由高斯定理