第i群内次级单元间的方差记为: 2 2 M ∑(n=)2 显然有S2=∑S2所有S2的平均数 1、估计量及其方差 总体平均数Y的估计是用样本平均数进行估计的 ∑=∑∑ n 容易证明,这个估计量J是Y的无偏估计
第 i 群内次级单元间的方差记为： 2 2 2 1 1 ( ) 1 M i ij i j S Y Y M = = − − 显然有 ——所有 的平均数。 2 2 2 2 1 1 N i i S S N = = 2 S2i 1、估计量及其方差 总体平均数 Y 的估计是用样本平均数进行估计的 1 1 1 1 1 n n m i ij i i j y y y n nm = = = = = 容易证明，这个估计量 y 是 Y 的无偏估计
其方差为: f S;+ f2 2 (9.1) n m 其中升=*, M 方差的无偏估计为: v(y)= f12,f1(1-f2) S1十 2 (9.2) n nmn 总体平均数95%的置信区间为 (-19X√,+1.96X√) 总体总数F的估计为:y=MM…y 方差的无偏估计为:p(j)=(MM)2u() 总体总数95%的置信区间为 (-1.96V),p+196×√(5)
其方差为： 1 2 2 2 1 2 1 1 ( ) f f Var y S S n nm − − = + (9.1) 其中 1 ， n f N = 2 m f M = 方差的无偏估计为： 1 1 2 2 2 1 2 1 (1 ) ( ) f f f v y s s n nm − − = + (9.2) 总体总数 Y 的估计为： y NM y = 方差的无偏估计为： 2 v y NM v y ( ) ( ) ( ) = 总体平均数95％的置信区间为 ( 1.96 ( ) , 1.96 ( )) y v y y v y − + 总体总数95％的置信区间为 ( 1.96 ( ) , 1.96 ( )) y v y y v y − +
例91:新华书店某柜台上月共用去发票70本,每本100张, 现随机从中抽出10本,每本随机抽出15张发票,得到数据 如下表:给出上月柜台营业总额的估计及基方差。 ∑J ∑ y 37525118025 25.02 135.02 2408.301211599 27.22 71.58 3323.408752.76 21.56 12716 502.5017833.75 33.50 71.43 5234.003953.00 15.60 21.61 6387751130250 25.85 97.37 7284.206573.04 1895 84.75 8256.6048236 17.11 30.79 9314.10692101 20.94 24.55 10280.50582725 18.70 41.56
例9.1：新华书店某柜台上月共用去发票70本，每本100张， 现随机从中抽出10本，每本随机抽出15张发票，得到数据 如下表：给出上月柜台营业总额的估计及其方差。 i 15 1 ij j y = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 375.25 408.30 323.40 502.50 234.00 387.75 284.20 256.60 314.10 280.50 15 2 1 ij j y = 11280.25 12115.99 8752.76 17833.75 3953.00 11302.50 6573.04 4822.36 6921.01 5827.25 25.02 27.22 21.56 33.50 15.60 25.85 18.95 17.11 20.94 18.70 135.02 71.58 127.16 71.43 21.61 97.37 84.75 30.79 24.55 41.56 i y 2 2i s
解:N=70,n-10,M=100,m=15f1=f2=0.15 015 y ∑∑ ∑,-, i=1j=1 1015台台 10x|37525+…+280.50=2244 j=MM·y=70×100×22.444=157108 故上月柜台营业总额的估计为157108.00元 =1-=2376=12 s,=7058 ()=1=hs+f(1=)2=2.61 n
解：N=70，n=10，M=100，m=15 10 15 1 1 1 1 1 1 10 15 n m ij ij i j i j y y y nm = = = = = = 1 [375.25 280.50] 22.444 10 15 = + + = 1 1 7 f = f 2 = 0.15 y NM y = = = 70 100 22.444 157108 故上月柜台营业总额的估计为157108.00元 2 2 1 1 1 ( ) 29.76 1 n i i s y y n = = − = − 2 2 2 2 1 1 70.58 n i i s s n = = = 1 1 2 2 2 1 2 1 (1 ) ( ) 2.61 f f f v y s s n nm − − = + =
v()=(MM)2()=(70×100)2×261 标准差为)=70×100×261=1130885元 营业总额95%的置信区间为 (1-19x√(),j+196×√ =(13494265,17927335)
标准差为 v y( ) 70 100 2.61 11308.85 = = 元 营业总额95％的置信区间为 2 2 v y NM v y ( ) ( ) ( ) (70 100) 2.61 = = ( 1.96 ( ) , 1.96 ( )) y v y y v y − + = (134942.65 , 179273.35)