§9-2平面应力状态分析基本公式) Stress analysis of Plane Stress State o,dA+(t dAcos a)sin a-(o dAcos a cosa+(t, dAsin a)cos a-(o, dAsin a sin a=0 t, da(T, dAcos a)cosa(o dAcos a)sin a+(t dAsin a )sin a+(o, dAsin a) cosa=0 由剪应 1 +cos 2a 1-c0s2a,方向为正,故 cos C= sin a= y 利用 2 sin a cos a= sin 2a 化简上两式,得 τ d acos 0xdA R+o 2-coS2a-t sin 2a oruAcosaq tdA sin 2a +t cos 2a 2 +a 如以2代入上两式,易得 Td asina 与α斜面垂直的另一斜面上的正应 力和剪应力。且有:7+可a O.+0 a-H d Asina
§9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State s + (t cosa)sin a − (s cosa)cosa + (|t | sin a)cosa − (s sin a)sin a = 0 a dA x dA x dA y dA y dA 由 = 0 得: t t − (tF cosa)cosa − (s cosa)sin a + (|t | sin a)sin a + (s sin a)cosa = 0 a dA x dA x dA y dA y dA a t a s s t a t a s s s s s a a sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − + + = 由剪应力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到图中tx方向为正,故|ty|=tx, a a a a a a a 2sin cos sin 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos2 2 = − = + = 利用 化简上两式,得: a a = + 2 ' 如以 代入上两式,易得 与a斜面垂直的另一斜面上的正应 力和剪应力。且有: x y a s s s s t t a a a + = + = − + + 2 2
§9-2平面应力状态分析(应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 由基本公式易得 R +O O cos 20-t sin 2a 2 将此两式分别平方 然后对应相加,可得 sin 2a+t cos 2a 2 R+O 此式表示一圆的方程如图所示。 2 此圆叫相应单元体的应力圆 (or摩尔圆 Mohrs circle)。在Ooτ 坐标系中,其圆心在σ轴上。圆心 与坐标原点0的距离为:{G,+σ 2 其半径为 ( or-o) T 下面介绍应力圆的作法 1(o+0)
§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 下面介绍应力圆的作法: a t a s s t a t a s s s s s a a sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − = + − 2 2 2 2 2 2 x x y x y t s s t s s s a a + − + = + − 2 s x +s y 2 2 2 x x y r t s s + − = 由基本公式易得: 将此两式分别平方, 然后对应相加,可得: 此式表示一圆的方程,如图所示。 此圆叫相应单元体的应力圆 (or摩尔圆Mohr’s Circle)。在Ost 坐标系中,其圆心在s轴上。圆心 与坐标原点O的距离为: 其半径为:
§9-2平面应力状态分析 Stress Analysis of Plane Stress State (a) 对图a所示平面应力状态微元体 (已知:o3oT时,作应力圆如下 I O MPa
§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 对图a所示平面应力状态微元体 (已知:sx ,sy ,tx时),作应力圆如下: t O s *** MPa sx sy C D1 D2 sI sII A1 A2 tx ty
§9-2平面应力状态分析P Stress Analysis of Plane Stress State ca) 作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元a 体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的on,tn如下:a Ifx/o口作DPdc,P为与D1P应力圆的 交点。叫极点。1τ 应力圆上 E(on,τ E点的坐标,即 为 o.t 20 O P(极点pole) MPa X
§9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元 体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的sa ,ta如下: t O s *** MPa sx sy C D1 D2 tx ty If x//s 作D1P//dc,P为与D1P应力圆的 交点。叫极点。 P(极点pole) E(sa ,ta ) a 2a 应力圆上 E点的坐标,即 为sa ,ta
§9-2平 Stress Analys (a) 下面证明前述图角 如图应有 OF=OC +CF=OC +CEcos( 2do +2a) naoI oC+Cecos 2a cos 2a-CEsin 2a sin 2a R+o cOs20-t.sn∠c=O 2 2 F 2a EF=CEsin( 2a +2a CEsin 2a cos 2a+CE cos 2a sin 2a I cos 2a 2- sIn 2a=Ta
§9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 下面证明前述图解法的正确性: 如图,应有: a s a a t s s s s a a a a a a − = − + + = = + − = + = + + cos 2 sin 2 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos(2 2 ) 0 0 0 x x y x y OC CE CE OF OC CF OC CE a a t s s t a a a a a a a = − = + = + = + sin 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin( 2 2 ) 0 0 0 x y x CE CE EF CE