厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 81.2-31.4行列式的性质 教学目的与要求熟练理解和掌握行列式的性质,了解用归纳法证明的步骤与 模式,能够利用行列式的性质计算行列式的值;熟练掌握重要公式(性质10);掌 握和应用 Cramer法则 性质1若|4是一个n阶行列式,且 aIn 22或|4=212 00 an1 an2 则|4=a11a22am(其中a称为|4的主对角线元 证明(1)|4为上三角行列式.n=1时|A4=a1结论成立.假设结论对于 n-1阶上三角行列式成立,考虑n阶行列式|4|.由定义知|4|=a1M1.而M1为 n-1阶上三角行列式,依归纳假设M1=a22a3am,故而|4|=a1122…amn (2)|4为下三角行列式由定义,|4=a11M1-a21M21+…+(-1)2+an1Mn1 对m-1阶行列式M1,>1,仍为下三角行列式,且M1的主对角元至少有一个 为零,故由归纳假设M1=0,>1,对M1由归纳假设M1=a22…an,所以 性质2若行列式|4的某一行或某一列元素全为零,则|4为零 证明归纳法.当n=1时,结论显然成立.假设结论对n-1阶行列式成立 先设|4中第讠行元素全为零,则 JA=a11M1 其中Mn1(≠i)中都有一行元素全为零,故由归纳假设Mn=0,而an=0,故 a1Mn=0,从而|A|=0 再设|4中第讠列元素全为零,则若i=1,显然|A|=0.若i>1,在展开式 A|=a1M1-a21M21+…+(-1)n+an1Mn
,p:8$ T #U IP &℄ 59.77.1.116; Mt gdjpkc.xmu.edu.cn §1.2-§1.4 5h "6a ourlyvs ebWBV(5h "6agWF>x0Xs"dL v y< F5h "6aK5h "\eV( <: (6a 10); V (BEF Cramer 0S t| 1 |A| =9 n U5h { |A| = a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · ann G |A| = a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann S |A| = a11a22 · · · ann(zb aii % |A| "e-S0N). {q (1) |A| %S5h n = 1 |A| = a11 VndN Vn-J n−1 US5h d^m n U5h |A|. G*BY |A| = a11M11. . M11 % n − 1 US5h >>xN M11 = a22a33 · · · ann, =. |A| = a11a22 · · · ann. (2) |A| %+S5h G*B|A| = a11M11−a21M21+· · ·+(−1)n+1an1Mn1. - n − 1 U5h Mi1, i > 1, %+S5h { Mi1 "e-SN_ H=9 %j=G>xN Mi1 = 0, i > 1, - M11 G>xN M11 = a22 · · · ann. |A| = a11a22 · · · ann. ✷ t| 2 5h |A| "w=5Gw=hN%jS |A| %j {q >x0 n = 1 Vn.dN Vn- n − 1 U5h d - |A| b' i 5N%jS |A| = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 zb Mj1(j 6= i) b+H=5N%j=G>xN Mj1 = 0, . ai1 = 0, = ai1Mi1 = 0, . |A| = 0. P |A| b' i hN%jS i = 1, . |A| = 0. i > 1, QT℄ |A| = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 1
中每个Mn1都有一列元素全为零.由归纳假设Mn=0,所以|4|=0 性质3将行列式|4的某一行或某一列乘以常数c得到行列式|B,则|B 证明归纳法.当n=1时,结论显然成立 (1)设|B中第i行的每个元素为|A中第i行每个元素乘以c,而其它行元素 与|4相同,由定义 B|=a1N1-a21N21+…+(-1)+ cai nil+…+(-1)n+an1Nn1 其中AM1为|B|的第r行第一列的余子式.由题意及归纳假设知 N1=cMr1,r≠i,Nn=Mn 其中Mn1,Mn为|4相应的余子式,由定义知|B=c4 (2)列的情形.若|B的第1列元素都是|4|的第1列元素的c倍,则将|B 按定义展开即得;若|B的第列(>1)元素是|4|的第讠列元素的c倍,利用 展开式及归纳法即得 性质4对换行列式|4的任意不同的两行,则行列式的值改变符号(绝对值不 证明对n用归纳法.当n=2时, a21a22 a12a21-a1102=-(a11a22 a12a21) 11a12 命题成立.设结论对n-1阶行列式成立.对n阶情形 a21a22 先证特殊情形一对换行列式相邻两行,其值改变符号.设|B由|A对换第 r行和第r+1行得到,记N为|B的第i行第j列元素的余子式,按定义展开 B|=a1N1-a21N21+…+(-1)+a+11Nn1+(-1)+2an1N+11+…+(-1)y+lan1Nn1 若i≠r,r+1,由归纳假设Nn1=-Mn而Mn1=Mr+11,Nr+11=Mr1,因此 B|=-4 现考虑一般情形.不妨设|4的第讠行与第j行对换,且j>讠.先将第i行 与第i+1行对换,再与第讠+2行对换,一直到与第j行对换,然后再将第j-1 行经过不断与相邻行对换到原来的第i行位置,这样共对换了2(j-i)-1次.故 仍有|B|=-|4
bo9 Mj1 +H=hN%jG>xN Mj1 = 0, |A| = 0. ✷ t| 3 Q5h |A| "w=5Gw=h c ! 5h |B|, S |B| = c|A|. {q >x0 n = 1 Vn.d (1) |B| b' i 5"o9N% |A| b' i 5o9N c, .z 5N L |A| 1!G*B |B| = a11N11 − a21N21 + · · · + (−1)i+1cai1Ni1 + · · · + (−1)n+1an1Nn1 zb Nr1 % |B| "' r 5'=h"Kh G AI>xN Y Nr1 = cMr1, r 6= i, Ni1 = Mi1 zb Mr1, Mi1 % |A| 1E"Kh G*BY |B| = c|A|. (2) h"|4 |B| "' 1 hN+ |A| "' 1 hN" c SQ |B| *BT℄J! |B| "' i h (i > 1) N |A| "' i hN" c F T℄ I>x0J! ✷ t| 4 -F5h |A| "A!"f5S5h "\7 5A ([-\ ). {q - n F>x0 n = 2 a21 a22 a11 a12 = a12a21 − a11a22 = −(a11a22 − a12a21) = − a11 a12 a21 a22 , u d Vn- n − 1 U5h d- n U|4 -X |4 — -F5h 1if5z\7 5A |B| G |A| -F' r 5B' r + 1 5! L Nij % |B| "' i 5' j hN"Kh *BT℄ |B| = a11N11−a21N21+· · ·+(−1)r+1ar+1,1Nr1+(−1)r+2ar1Nr+1,1+· · ·+(−1)n+1an1Nn1. i 6= r, r + 1, G>xN Ni1 = −Mi1. . Nr1 = Mr+1,1, Nr+1,1 = Mr,1, C |B| = −|A|. /^m= |42 |A| "' i 5L' j 5-F{ j > i. -Q' i 5 L' i + 1 5-FPL' i + 2 5-F=[ L' j 5-FDPQ' j − 1 5Z?,L1i5-F O`"' i 5'`W;;-Fg 2(j − i) − 1 = H |B| = −|A|. ✷ 2
名质5;行列式|4的两行相同,角|4=0. 且明将解两行对换可得|4|=-4|,大以|A|=0. 名质6设|A|B,C|是三个n阶行列式,代们的第讠行第j列假素分别记为 aj,b,j,|A,|B|,|C|的第r行假素适合条件: (j=1,2,…,n) 而其他的假素相同,即G=a=b1(≠r,j=1,2,…,n),角 C|=|4|+ 且明对n用数个归纳法.n=1时,而然成立.设结论对n-1成立, Cl=a1Q1-a21Q21+…+(-1)+1(an1+b)Qn1+…+(-1)x+an1Qn1 其理Q为Cl的计列式;i≠r,角Qn.适合(1),或归纳假设Qa=Mn+Nn 其理MnM1分别是|A,lB|的计列式.;i=r,角Q1=Mn=Nr1,简单计从即 知|C|=|A|+|B 名质7将行列式的故行乘以某常数c加到另故行案去,行列式值不变 且明或性质6,性质3,性质5即得 名质5′;行列式|A4|的两列相同,角|4|=0. 且明;|4的相同两列都非第1列,角将|A教开并且或归纳法即得|4|=0. 不妨设|4|的第1列与第r列相同.;|4|的第1列假素全为0,角|4|=0.故假 设|A的第1列假素至少有故非零如a1≠0.对调第1行与第s行,仅改变|4 符号,而-A|=0即意地了|4|=0.不妨设a1≠04形如 11 a? 21 将|A的第1行乘以一阻加到第i行案去(=2,3,…,m),得故新行列式|Cl,形 如
t| 5 5h |A| "f51!S |A| = 0. {q QWf5-F_! |A| = −|A|, |A| = 0. ✷ t| 6 |A|,|B|,|C| 9 n U5h q"' i 5' j hN4ÆL% aij , bij , cij , |A|, |B|, |C| "' r 5NC P crj = arj + brj (j = 1, 2, · · · , n) (1) .z "N1!J cij = aij = bij (i 6= r, j = 1, 2, · · · , n), S |C| = |A| + |B|. {q - n F9>x0 n = 1 .d Vn- n − 1 d |C| = a11Q11 − a21Q21 + · · · + (−1)r+1(ar1 + br1)Qr1 + · · · + (−1)n+1an1Qn1 zb Qij % |C| "Kh i 6= r, S Qi1 C (1), G>xN Qi1 = Mi1+Ni1, zb Mi1,Ni1 4Æ |A|,|B| "Kh i = r, S Qr1 = Mr1 = Nr1, O KJ Y |C| = |A| + |B|. ✷ t| 7 Q5h "=5w c M k=55h \ {q G6a 6, 6a 3, 6a 5 J! ✷ t| 5 ′ 5h |A| "fh1!S |A| = 0. {q |A| "1!fh+3' 1 hSQ |A| T℄{G>x0J! |A| = 0. 2 |A| "' 1 hL' r h1! |A| "' 1 hN% 0, S |A| = 0. =N |A| "' 1 hN_ H=3j as1 6= 0. -)' 1 5L' s 5Y7 |A| 5A. −|A| = 0 JA&g |A| = 0. 2 a11 6= 0,|A| 4 a11 · · · a11 · · · a21 · · · a21 · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · an1 · · · Q |A| "' 1 5 − ai1 a11 M ' i 5 (i = 2, 3, · · · , n), !=35h |C|, 4 a11 · · · a11 · · · 0 ∗ 0 ∗ · · · · · · · · · · · · 0 ∗ 0 ∗ 3
由性质7,|C|=|A4.将l按定义展开,C=anQ1,而Q1是一个有一列全为 0的n-1阶行列式.由性质2Q1=0,即有C|=0…|A|=0 性质6|A4|B,C|是三个n阶行列式,C的第r列元素等于|4的第r列 元素与|B|的第r列元素之和: ,n) 当j≠r时,=a1=b,则C=|A1+|B 证明若r=1,由定义展开|C|即得.若r>1,则C|展开为 每个Qa1由归纳假设得: 其中Qa,Mn,Nn分别是Cl,A4B的余子式,代入可得|C|=|4+|B,.口 性质7将行列式的一列乘以常数c加到另一列上,行列式值不变. 正明利用性质6,性质3及性质5得证 性质4交换行列式的两列,行列式值改变符号 证明法一:若交换的两列不是第一列,由归纳法即得. 若第1列与第s列交换后的行列式为|B,则 aln a2s 2n a2s -a21 n1 2n ans - ar 1 a2s a2n
G6a 7, |C| = |A|. Q |C| *BT℄ |C| = a11Q11, . Q11 =9H=h% 0 " n − 1 U5h G6a 2,Q11 = 0, JH |C| = 0,∴ |A| = 0. ✷ t| 6 ′ |A|,|B|,|C| 9 n U5h |C| "' r hN#J |A| "' r h NL |B| "' r hNZB cir = air + bir (i = 1, 2, · · · , n). j 6= r cij = aij = bij , S |C| = |A| + |B|. {q r = 1, G*BT℄ |C| J! r > 1, S |C| T℄% |C| = a11Q11 − a21Q21 + · · · + (−1)n+1an1Qn1. o9 Qi1 G>xN ! Qi1 = Mi1 + Ni1 zb Qi1,Mi1,Ni1 4Æ |C|,|A|,|B| "Kh _! |C| = |A| + |B|. ✷ t| 7 ′ Q5h "=h c M k=h5h \ {q F6a 6 ′ , 6a 3 I6a 5 ′ !X ✷ t| 4 ′ RF5h "fh5h \7 5A {q 0=RF"fh'=hG>x0J! ' 1 hL' s hRFD"5h % |B|, S |B| = a1s · · · a11 · · · a1n a2s · · · a21 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans · · · an1 · · · ann = a1s − a11 · · · a11 · · · a1n a2s − a21 · · · a21 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans − an1 · · · an1 · · · ann = a1s − a11 · · · a1s · · · a1n a2s − a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans − an1 · · · ans · · · ann = −a11 · · · a1s · · · a1n −a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · −an1 · · · ans · · · ann = − a11 · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · ann = −|A| 4
法二:设|B由|A4交换第r列及第s列后得到,即 a1 a1r a2r 1B =a21 a2r 令 alr +ais a2r +a2s anr+ ar anr+ ans a1 + 21·…a2r a2r+ a2s a2n 1A|+ a2n an1 +|B+ 21 a2s 除|4B|外的两行列式均有两列相同,行列式为0.C的第r列与第s列相同, 故|C|为0.这样有|C|=|+|B|=0,即|4|=-|B 性质8(行列式按第r列的展开) +……+anr
✷ 0/ |B| G |A| RF' r hI' s hD! J |A| = a11 · · · a1r · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · ans · · · ann |B| = a11 · · · a1s · · · a1r · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2r · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · anr · · · ann l |C| = a11 · · · a1r + a1s · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2r + a2s · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr + ans · · · anr + ans · · · ann = a11 · · · a1r · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · anr + ans · · · ann + a11 · · · a1s · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · anr + ans · · · ann = |A| + a11 · · · a1r · · · a1r · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2r · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · anr · · · ann +|B| + a11 · · · a1s · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · ans · · · ann |A|,|B| ""f5h \Hfh1!5h % 0, |C| "' r hL' s h1! = |C| % 0. W;H |C| = |A| + |B| = 0, J |A| = −|B|. ✷ t| 8 (5h ' r h"T℄) |A| = a1rA1r + a2rA2r + · · · + anrAnr 5