投影后仍保持直交,此二直交直线方向,称之为主方向。 在主方向上,具有极大和极小长度比。例如我们讲过的高斯-克吕格投 影,经纬线投影后均保持垂直。所以该投影中,经纬线方向就是主方向。 经纬线投影后位正交,经纬线方向均为主方向。但也有一些投影经纬网斜 交,主方向与经纬线方向并不一致。 3.变形椭圆 在地球球面上取一微小圆,它在平面上的投影除在接触点位置外, 般情况下为椭圆(投影演示),下面我们用数学方法验证一下, 设o为球面上一点,以它为圆心的微小圆的半径是单位长度(为1), M(x,y)圆上一点,圆心曲线方程为 o’为o的投影,以主方向作为坐标轴,M‘(x’,y’)是M(x,y 的投影,令主方向长度比为a和b,则 则:x=x’/a,y=y’/b (x,y)为圆上一点,将其代如圆的方程,得 这是一个椭圆方程,这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b 的椭圆,这种椭圆可以用来表示投影的变形,故叫做变形椭圆。 在研究投影时,可借助变形椭圆与微小圆比较,来说明变形的性质和 数量。椭圆半径与小圆半径之比,可以说明长度变形。很明显的看出长度 变形是随方向的变化而变化,在长短半径方向上有极大和极小长度比a和 b,而长短半径方向之间,长度比μ,为b<μ<a,椭圆面积与小圆面积之比, 可以说明面积变形。椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向 线夹角之差为角度变形。 5.面积比与面积变形 投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比,称为面积比。以 投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=12r为 例,以P表示面积比,则
投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。 在主方向上，具有极大和极小长度比。例如我们讲过的高斯-克吕格投 影，经纬线投影后均保持垂直。所以该投影中，经纬线方向就是主方向。 经纬线投影后位正交，经纬线方向均为主方向。但也有一些投影经纬网斜 交，主方向与经纬线方向并不一致。 3. 变形椭圆 在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一 般情况下为椭圆（投影演示），下面我们用数学方法验证一下。 设 o 为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为 1）， M(x,y)圆上一点，圆心曲线方程为 x 2 +y2 =1 o’为 o 的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是 M（x,y） 的投影，令主方向长度比为 a 和 b，则: x’/x= a, y’/y= b 则:x =x’/a, y =y’/b (x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得 x 2 /a2 +y2 /b2 =1 这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为 a 短半径为 b 的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影的变形，故叫做变形椭圆。 在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和 数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度 变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比 a 和 b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a，椭圆面积与小圆面积之比， 可以说明面积变形。椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向 线夹角之差为角度变形。 5.面积比与面积变形 投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以 投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积 dF=1 2π为 例，以 P 表示面积比，则：
P=dF’/dF=ab/r=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时 P=mn 若经纬线方向不是主方向时,则面积比 P= mosin0(0为投影后经纬线夹角) 面积比是个变量,它随点位置不同而变化 面积变形就是面积比与1之差,以vp表示。 面积变形有正有负,面积变形为零,表示投影后面积无变形,面积变形为 正,表示投影后面积增加;面积变形为负,表示投影后面积缩小。 6.角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差,称为 角度变形。过一点可以做许多方向线,每两条方向线均可以组成一个角度, 这些角度投影到平面上之后,往往与原来的大小不一样,而且不同的方向 线组成的角度产生的变形一般也不一样 [公式验证] 见教材53页。 7.等变形线 在各种投影图上,都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常 常是不一样的,为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线 来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线, 它是根据计算的各种变形的数值(如p,w)绘于经纬线网格内的,如面积等 变形线 等变形线在不同的投影图上,具有不同的形状,在方位投影中,因投 影中心点无变形,从投影中心向外变形逐渐增大,等变形线成同心圆状分 布 等变形线通常是用点虚线来表示的。(看投影图上的等变形线) 第三节地图投影的分类
P=dF’/dF=abπ/π=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时： P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比 P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角) 面积比是个变量，它随点位置不同而变化。 面积变形就是面积比与 1 之差，以 Vp 表示。 Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为 正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。 6.角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为 角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度， 这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向 线组成的角度产生的变形一般也不一样。 [公式验证] 见教材 53 页。 7.等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常 常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线 来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线， 它是根据计算的各种变形的数值（如 p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等 变形线。 等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投 影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分 布。 等变形线通常是用点虚线来表示的。（看投影图上的等变形线） 第三节 地图投影的分类
地图投影的种类很多,由于分类的标志不同,分类的方法也不同。 按变形性质分类 地球球面投影到平面时,产生的变形有长度、角度和面积三种,根据 变形特征可分为:等角投影、等积投影和任意投影三种。 1.等角投影(正形投影) 角度变形为0,地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆,其形 状保持不变,只有长度和面积变形。等角投影的条件是 in(w/2)=(a-b)/(a+b)=0 等角投影在同一点任何方向的长度比都相等,但在不同地点长度比是 不同的。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。 2.等积投影 投影后图形保持面积大小相等,没有面积误差。也就是球面上的不同 地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆,但椭圆的形状不一样。因此有 角度和长度变形。等积投影的条件是 Vp=p-1=0p=1 因为p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形,故有利于在图上进行面积对比。 般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图 3.任意投影 任意投影是即不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小 于等角投影,角度变形小于等积投影。 在任意投影中,有一种特殊的投影,叫做等距投影,其条件是m1。即 误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等 如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较 可以看出: ①等积投影不能保持等角特性,等角投影不能保持等积特性
地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。 一、按变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据 变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。 1.等角投影（正形投影） 角度变形为 0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形 状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是： w=0 sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是 不同的。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。 2.等积投影 投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同 地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有 角度和长度变形。等积投影的条件是： Vp=p―１＝０ p=1 因为 p=ab 所以 a=1/b 或 b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。 一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。 3.任意投影 任意投影是即不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小 于等角投影，角度变形小于等积投影。 在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件是 m=1。即 误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。 如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较 可以看出： ①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性
②任意投影不能保持等积等角特性。 ③等积投影的形状变化比较大,等角投影的面积变形比较大。 按构成方法分类 1.几何投影 几何投影是把地球椭圆面上的经纬线网投影到几何面上,然后将几何 面展为平面而得到的,根据几何面的形状,可进一步分为如下几类 (1)方位投影以平面作为投影面,使平面与球面相切或相割,将球面 上的经纬线投影到平面上而成。 (2)圆住投影以圆柱面作为投影面,使圆柱面与球面相切或相割,将 球面上的经纬线投影到圆柱面上,然后将圆柱面展为平面而成 (3)圆锥投影以圆锥面作为投影面,使圆锥面与球面相切或相割,将 球面上的经纬线投影到圆锥面上,然后将圆锥面展为平面而成 2.非几何投影 不借助于任何几何面,根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面 之间点与点的函数关系。在这类投影中,一般按经纬网形状又可分为伪方 位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。 [重要内容提示] 1.地图投影、投影变形、变形椭圆、长度比、长度变形、面积比、面 积变形、角度变形、主方向、主比例尺、局部比例尺、等变形线的概念。 2.地图投影的分类 (1)按构成方法分类 (2)按变形性质分类 [思考题] 见教材85页。 [第二讲4学时]
②任意投影不能保持等积等角特性。 ③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。 二、按构成方法分类 1.几何投影 几何投影是把地球椭圆面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何 面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类： ⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面 上的经纬线投影到平面上而成。 ⑵圆住投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将 球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 ⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将 球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面 之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方 位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。 [重要内容提示] 1.地图投影、投影变形、变形椭圆、长度比、长度变形、面积比、面 积变形、角度变形、主方向、主比例尺、局部比例尺、等变形线的概念。 2.地图投影的分类 （1）按构成方法分类 （2）按变形性质分类 [思考题] 见教材 85 页。 [第二讲 4 学时]
第四节方位投影 方位投影的概念和种类 方位投影是以平面作为投影面,使平面与地球表面相切或相割,将球 面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。本节只介绍常用的切方位投影, 将地球半径视为R的球体。 方位投影可分为透视方位投影和非透视方位投影两类。 1.透视方位投影 利用透视法把地球表面投影到平面上的方法称为透视投影 透视方位投影的点光源或视点位于垂直于投影面的地球直径及其延长 线上,由于视点位置不同,因而有不同的透视方位投影(演示) ①当视点(光源)位于地球球心时,即视点距投影面距离为R时,称 为中心射方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球表面时,即视点到投影面距离为2R时,称为 平社方位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限远时,投影线(光线)成为平行线,称为正 射投影。 根据投影面和地球球相切位置的不同,透视投影可分为三类: ①当投影面切于地球极点时,称为正轴投影。 ②当投影面切于赤道时,称为横轴方位投影。 ③当投影面切于既不在极点也不在赤道时,称为斜轴方位投影。 2.非透视方位投影 非透视方位投影是借助于透视投影的方式,而附加上一定的条件,如 加上等积、等距等条件所构成的投影。 在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影 正射正轴方位投影 1.投影条件 视点位于无穷远,故投影平行直线。投影面假定切于极点 2.特点 纬线投影为一组同心圆,而且没有误差。经线投影为相交于纬线同心
第四节 方位投影 一、方位投影的概念和种类 方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球 面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。本节只介绍常用的切方位投影， 将地球半径视为 R 的球体。 方位投影可分为透视方位投影和非透视方位投影两类。 1.透视方位投影 利用透视法把地球表面投影到平面上的方法称为透视投影。 透视方位投影的点光源或视点位于垂直于投影面的地球直径及其延长 线上，由于视点位置不同，因而有不同的透视方位投影（演示） ①当视点（光源）位于地球球心时，即视点距投影面距离为 R 时，称 为中心射方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球表面时，即视点到投影面距离为 2R 时，称为 平社方位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限远时，投影线（光线）成为平行线，称为正 射投影。 根据投影面和地球球相切位置的不同，透视投影可分为三类： ①当投影面切于地球极点时，称为正轴投影。 ②当投影面切于赤道时，称为横轴方位投影。 ③当投影面切于既不在极点也不在赤道时，称为斜轴方位投影。 2.非透视方位投影 非透视方位投影是借助于透视投影的方式，而附加上一定的条件，如 加上等积、等距等条件所构成的投影。 在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影。 二、正射正轴方位投影 1.投影条件 视点位于无穷远，故投影平行直线。投影面假定切于极点。 2.特点 纬线投影为一组同心圆，而且没有误差。经线投影为相交于纬线同心