免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 12.3.2等边三角形(2) 教学目标 (一)教学知识点 1.探索——发现——猜想——证明直角三角形中有一个角为30°的性质 2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用 (二)能力训练要求 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推 理的相互依赖和相互补充的辩证关系 2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力 (三)情感与价值观要求 1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲 2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性 重点难点 重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明 难点:1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明 2.引导学生全面、周到地思考问题 教学方法 探索发现法 教具准备 两个全等的含30°角的三角尺; 多媒体课件: 投影仪 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 [师]我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性 质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的 直角三角形的性质呢? 问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?能拼出 个等边三角形吗?说说你的理由 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能 证明你的结论吗? Ⅱ.导入新课 (让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索 出来的结论,还需要给予证明) [生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 12.3.2 等边三角形（2） 教学目标 （一）教学知识点 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为 30°的性质． 2．有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单应用． （二）能力训练要求 1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程， 引导学生体会合情推理与演绎推 理的相互依赖和相互补充的辩证关系． 2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． （三）情感与价值观要求 1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． 2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 重点难点 重点：含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 难点：1．含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学方法 探索发现法． 教具准备 两个全等的含 30°角的三角尺； 多媒体课件； 投影仪． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性 质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含 30°角的直角三角形， 它有什么不同于一般的 直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含 30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？ 能拼出一 个等边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能 证明你的结论吗？ Ⅱ．导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索 出来的结论，还需要给予证明） [生]用含 30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形． (1) D C A B (2) D C A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中 ∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 [生]图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以 ∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形 [师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直 角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗? [生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半 [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗? [生]可以,在图(1)中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.而∠ADB= 0°,即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=BC.所以BD=AB 即在Rt△ABD中,∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半 [师生共析]这位同学能结合前后知识,把问题思路解释得如此淸晰,很了不起.下面我 们一同来完成这个定理的证明过程 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30 求证:BC=-AB B C 分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD 证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60° 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90 △ABC≌△ADC(SAS) ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等) △ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) BC- 2BD-2AB [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用,因为它由角的特殊性,揭示了直角三角 形中的直角边与斜边的关系,下面我们就来看一个例题 (演示课件) 例5]右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点 立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD,DE 要多长? 分析:观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于AEC 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以 AB=AC，又因为 Rt△ABD 中， ∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． [ 生 ] 图 （ 1 ）中， ∠B=∠C=60° ， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60° ，所以 ∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形． [师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直 角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？ [生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ [生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以 AB=BC=AC．而∠ADB= 90°，即 AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得 BD=DC= 1 2 BC．所以 BD= 1 2 AB， 即在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边 BD 是斜边 AB 的一半． [师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我 们一同来完成这个定理的证明过程． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= 1 2 AB． C A B C D A B 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD. ∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC= 1 2 BD= 1 2 AB． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角 形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题． （演示课件） [例 5]右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB的中点， 立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱 BD，DE 要多长？ 分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于 D A E C B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠A=30°,所以DB=AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以DE= 解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知BC=AB,DE=AD 所以BD=-×7.4=3.7(m) 又AD=AB,所以DE=AD=×3.7=1.85(m) 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m [师]再看下面的例题 [例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高 已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB= 15°,CD是腰AB上的高 求:CD的长 分析:观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a, 而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°×2=30°, 根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半, 可求出CD 解:∵∠ABC=∠ACB=15° ∠DAC=∠ABC+∠BAC=3 CD=AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜 2 边的一半) [师]下面我们来做练习 Ⅲ.随堂练习 (一)课本练习 Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关 系? 答案:∠B=60°,∠A=30°,AB=2BC. (二)补充练习 1.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30° 求证:BD=-AB 证明:在Rt△ABC中,∠A=30° 在Rt△BCD中,∠B=60°, ∠BCD=30° 2 2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两 条线段 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∠A=30°，所以 DE= 1 2 AD，BC= 1 2 AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= 1 4 AB． 解：因为 DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知 BC= 1 2 AB，DE= 1 2 AD， 所以 BD= 1 2 ×7.4=3.7（m）． 又 AD= 1 2 AB，所以 DE= 1 2 AD= 1 2 ×3.7=1.85（m）． 答：立柱 BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85m． [师]再看下面的例题． [例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB= 15°，CD 是腰 AB 上的高． 求：CD 的长． 分析：观察图形可以发现，在 Rt△ADC 中，AC =2a， 而∠DAC 是△ABC 的一个外角， 则∠DAC=15°×2=30°， 根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半， 可求出 CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD= 1 2 AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半）． [师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本练习 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC•之间有什么关 系？ 答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC． （二）补充练习 1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD= 1 4 AB． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=30°， ∴BC= 1 2 AB． 在 Rt△BCD 中，∠B=60°， ∴∠BCD=30°． ∴BD= 1 2 BC． ∴BD= 1 4 AB． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的 2 倍，这个角的平分线把对边分成两 条线段． D C A B D C B A
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 求证:其中一条是另一条的2倍. 已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线 求证:CD=2AD 证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C, ∠ABC=60°,∠C=30° 又∵BD是∠ABC的平分线 ∠ABD=∠DBC=30° ∴AD==BD,BD=CD ∴CD=2AD Ⅳ.课时小结 这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定 理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用 V.活动与探究 在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30 过程:可以从证明“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边 等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示 结果 知:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=-AB. 求证:∠BAC=30° 证明:延长BC到D,使CD=BC,连接AD ∵∠ACB=90° (1) ∠ACD=90° 又∵AC=AC, ∴△ACB≌△ACD(SAS) AB=AD 2 又∵BC=-AB AB=BD ∴AB=AD=BD 即△ABD为等边三角形 ∠B=60° D 在Rt△ABC中,∠BAC=30° 板书设计 、定理的探究 定理:在直角三角形中,有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 求证：其中一条是另一条的 2 倍． 已知：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD= 1 2 BD，BD=CD． ∴CD=2AD． Ⅳ．课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30°的直角三角形的边的关系．这个定 理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． Ⅴ．活动与探究 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°． 过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示． 结果： 已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= 1 2 AB． 求证：∠BAC=30°． 证明：延长 BC 到 D，使 CD=BC，连接 AD． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC， ∴△ACB≌△ACD（SAS）． ∴AB=AD． ∵CD=BC， ∴BC= 1 2 BD． 又∵BC= 1 2 AB， ∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°． 在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°． 板书设计 一、定理的探究 定理：在直角三角形中，有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 D C A B (1) C A B (2) C D A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 五、课后作业 备课资料 参考例题 1.已知,如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形. 求证:AN=BM 证明:△ACM与△CBN是等边三角形 ∠ACM=∠BCN ∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM, 即∠ACN=∠MCB 在△ACN和△MCB中, AC= MC ∠ACN=∠MCB, CN=CB △ACN≌△MCB(SAS) AN=BM 2.一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10cm,CB1⊥AB BC⊥AC1,垂足分别是B1、C1,那么BC的长是多少? 解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10cm ∵BC=一AB=5cm CB1⊥AE ∠B+∠BCB1=90 又∵∠A+∠B=90 ∠BCB1=∠A=30° 在Rt△ACB1中,B1=BC=2.5cm ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(cm) 在Rt△ABC1中,∠A=30° BC1=-AB1=-×7.5=3.75(cm) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 五、课后作业 备课资料 参考例题 1．已知，如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形． 求证：AN=BM． 证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN． ∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM， 即∠ACN=∠MCB． 在△ACN 和△MCB 中， , , , AC MC ACN MCB CN CB = = = ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN=BM． 2．一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，•CB1⊥AB， B1C⊥AC1，垂足分别是 B1、C1，那么 BC 的长是多少？ 解：在 Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm． ∴BC= 1 2 AB=5 cm． ∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°． 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCB1=∠A=30°． 在 Rt△ACB1 中，BB1= 1 2 BC=2.5 cm． ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）． ∴在 Rt△AB1C1 中，∠A=30°． ∴B1C1= 1 2 AB1= 1 2 ×7.5=3.75（cm）． A C B M N C1 B1 C B A