第15章界面现象 思考题解答 1.在吉布斯界面模型中,F2=F2(7=0),那么,/20究竟与界 面位置有没有关系。 解:按被更普遍使用的吉布斯单位界面过剩量的定义,即式(15-9), 有 对一个状态确定的系统,V、n、n2、c"、c{)、c2)、c2和A都已 确定,故l也确定。由此可知,界面位置不同时F、F不同,但它 们按式(15-9)组合的结果却是一个确定值,即/2与界面位置无关。 按式(15-7),有20=(F=0),它可以认为是式(15-9)的特例, F=0时/2=F2。式中在计算时,是选定了使F=0的界面位置 但所得2仍与界面位置无关。 2.考虑界面相时的平衡条件和不考虑界面相时的有什么差别。 解:考虑界面相时的热平衡条件、相平衡条件和化学平衡条件与不 考虑界面相时的相同。当界面是平面时,力平衡条件与不考虑界面相时 的相同,为 (a)= p
第 15 章 界面现象 思考题解答 1. 在吉布斯界面模型中， ( 0) 2 1 (1) Γ2 =Γ Γ = ，那么， (1) Γ2 究竟与界 面位置有没有关系。 解：按被更普遍使用的吉布斯单位界面过剩量的定义，即式(15–9)， 有 s ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 1 (1) 2 1 ( ) c c A c c n Vc n Vc c c c c Γ Γ Γ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − − − − = − α β α β α α α β α β 对一个状态确定的系统，V 、n1、n2 、 ( ) 1 α c 、 ( ) 1 β c 、 ( ) 2 α c 、 ( ) 2 β c 和 As都已 确定，故 (1) Γ2 也确定。由此可知，界面位置不同时Γ2 、Γ1不同，但它 们按式(15–9)组合的结果却是一个确定值，即 (1) Γ2 与界面位置无关。 按式(15–7)，有 2 (1) Γ2 =Γ（Γ1 = 0 ），它可以认为是式(15–9)的特例， Γ1 = 0 时 2 (1) Γ2 =Γ。式中在计算Γ2时，是选定了使Γ1 = 0 的界面位置， 但所得 (1) Γ2 仍与界面位置无关。 2. 考虑界面相时的平衡条件和不考虑界面相时的有什么差别。 解：考虑界面相时的热平衡条件、相平衡条件和化学平衡条件与不 考虑界面相时的相同。当界面是平面时，力平衡条件与不考虑界面相时 的相同，为 (α ) (β ) p = p
第15章界面现象 219 当界面是曲面时,力平衡条件与不考虑界 面相时的不同,为 da 3.半径为r的空气中的肥皂泡内外压 力差为多少?如图15-59所示,在玻璃管 的两端有两个半径不同的肥皂泡,若打开旋塞,使它们联通,问两泡 大小将如何变化。最后达平衡时的情况是怎样的 解:空气中的肥皂泡示意图如右。 对肥皂泡外表面的两侧应用式(15-39),有 对肥皂泡内表面的两侧应用式(15-41),有 pI 202σ P2-P1=+x2 在旋塞未打开时,由上式知大泡内的气体压力小于小泡内的气体压 力,若打开旋塞使它们联通,则小泡内的气体将流向大泡,使小泡体积 变小,大泡体积变大。在两个肥皂泡体积发生变化的同时,它们的半径 也在变化,大泡的半径是不断增大的,小泡的半径却是先减小后增大, 其最小的半径即为玻璃管口的半径,它的 变化过程可参考教材的图15-16,半径减 小时为图右,半径最小时为图中,半径增 大时为图右。当小泡的半径越过最小值增 大到与大泡的半径相等时,达到平衡
第 15 章 界面现象 ·219· 当界面是曲面时，力平衡条件与不考虑界 面相时的不同，为 ( ) ( ) ( ) s d d α α β σ V A p = p + 3. 半径为 r 的空气中的肥皂泡内外压 力差为多少？如图 15-59 所示，在玻璃管 的两端有两个半径不同的肥皂泡，若打开旋塞，使它们联通，问两泡的 大小将如何变化。最后达平衡时的情况是怎样的？ 解：空气中的肥皂泡示意图如右。 对肥皂泡外表面的两侧应用式(15–39)，有 1 1 (l) 2 r p p σ = + 对肥皂泡内表面的两侧应用式(15-41)，有 2 2 (l) 2 r p p σ = − 即 1 1 2 2 2 2 r p r p σ σ − = + ∴ r r r r p p σ σ 2σ 4σ 2 2 2 1 2 2 − 1 = + ≈ × = 在旋塞未打开时，由上式知大泡内的气体压力小于小泡内的气体压 力，若打开旋塞使它们联通，则小泡内的气体将流向大泡，使小泡体积 变小，大泡体积变大。在两个肥皂泡体积发生变化的同时，它们的半径 也在变化，大泡的半径是不断增大的，小泡的半径却是先减小后增大， 其最小的半径即为玻璃管口的半径，它的 变化过程可参考教材的图 15–16，半径减 小时为图右，半径最小时为图中，半径增 大时为图右。当小泡的半径越过最小值增 大到与大泡的半径相等时，达到平衡
220· 思考题和习题解答 4.有三根内径相同的玻璃管a,b 和c,将a垂直插入水中,管内水面 升高为h,弯月面半径为r,若如图 15-60所示将b、c垂直插入水中,问 管内水面上升的高度及弯月面半径 将如何变化 解:设凹形弯月面为球形,则对a管达平衡时,弯月面半径为 若将b管垂直插入水中,由于b管管口与水面的距离H<h,因此 当液面上升至管口后,若液面半径为r,则不能达到力平衡,液体有继 续上升的趋势,这时液体并不从管中溢出,而是弯月面的半径增大,直 达到力平衡。 若将c管垂直插入水中,由于c管弯曲部分顶端与水面的距离小于 h,故当液面上升到顶端后将沿弯管下降到管口,因管口与水面的距离 H'<h,若液面半径为r,则不能达到力平衡,液体有继续下降的趋势 这时液体并不从管中滴出,而是弯月面的半径增大,直至 达到力平衡 由以上三式可知 r''h=rh=rh 即管内水面上升的高度与弯月面半径的乘积是一个定值。 5如图15-61所示两根毛细管中 分别装有两种不同的液体,若在毛细 管右端加热,问液体将如何移动 解:若液体能润湿毛细管,弯月
·220· 思考题和习题解答 4. 有三根内径相同的玻璃管 a，b 和 c，将 a 垂直插入水中，管内水面 升高为 h，弯月面半径为 r，若如图 15-60 所示将 b、c 垂直插入水中，问 管内水面上升的高度及弯月面半径 将如何变化。 解：设凹形弯月面为球形，则对 a 管达平衡时，弯月面半径为 gh r ( ) 2 (l) (g) ρ ρ σ − = 若将 b 管垂直插入水中，由于 b 管管口与水面的距离h'< h ，因此 当液面上升至管口后，若液面半径为 r，则不能达到力平衡，液体有继 续上升的趋势，这时液体并不从管中溢出，而是弯月面的半径增大，直 至 ( ) ' 2 ' (l) (g) gh r ρ ρ σ − = 达到力平衡。 若将 c 管垂直插入水中，由于 c 管弯曲部分顶端与水面的距离小于 h，故当液面上升到顶端后将沿弯管下降到管口，因管口与水面的距离 h''< h，若液面半径为 r，则不能达到力平衡，液体有继续下降的趋势， 这时液体并不从管中滴出，而是弯月面的半径增大，直至 ( ) ' ' 2 ' ' (l) (g) gh r ρ ρ σ − = 达到力平衡。 由以上三式可知 r''h''= r'h'= rh 即管内水面上升的高度与弯月面半径的乘积是一个定值。 5. 如图 15-61 所示两根毛细管中 分别装有两种不同的液体，若在毛细 管右端加热，问液体将如何移动。 解：若液体能润湿毛细管，弯月
第15章界面现象 221 面为凹面,设其半径为r,则 PI=p 当毛细管右端温度升高时,液体的表面张力减小,P2>p1,此压力差 使液体向左移动。 若液体不能润湿毛细管,弯月面为凸面,设其半径为r,则 PI=p2=p 当毛细管右端温度升高时,液体的表面张力减小,P2<P1’此压力差 使液体向右移动。 6.在密闭容器中有半径不同的两个水珠,长期放置会发生什么现 象? 解:按开尔文方程,半径较小的水珠其饱和蒸气压大于半径较大的 若密闭容器中水蒸气的压力等于大水珠的饱和蒸气压,则小水珠将蒸 发,使容器中水蒸气的压力大于大水珠的饱和蒸气压,于是水蒸气将在 大水珠上凝结。这个过程不断进行,直至小水珠完全汽化,只留下一个 体积比原来的小水珠与大水珠体积之和略大的水珠。(因为蒸气压略有 减小,故气相的水量略有减小,而液相的水量则略有增加。) 若密闭容器中水蒸气的压力小于大水珠的饱和蒸气压,则小水珠和 大水珠将蒸发,此时有两种可能的结果。一是两个水珠都完全汽化 是两个水珠部分汽化,使容器中水蒸气的压力等于大水珠的饱和蒸气 压,以后的过程与前面的相同,最后只留下一个体积比原来的小水珠与 大水珠体积之和小的水珠 7.一根玻璃毛细管插入水中,管内水面升高 若水面上的水蒸气与液体水达到平衡,问图15-62 中四点(点2,3处于同一高度)处的水蒸气压力的 大小应如何排列 解:如以h表示点3与点4的距离,h表示点 1与点3或点2的距离,类似于式(15-45),可写 P2=P3=p4
第 15 章 界面现象 ·221· 面为凹面，设其半径为 r，则 r p p p(g) 2σ 1 = 2 = − 当毛细管右端温度升高时，液体的表面张力减小， 2 1 p ' > p ，此压力差 使液体向左移动。 若液体不能润湿毛细管，弯月面为凸面，设其半径为 r，则 r p p p(g) 2σ 1 = 2 = + 当毛细管右端温度升高时，液体的表面张力减小， 2 1 p' < p ，此压力差 使液体向右移动。 6. 在密闭容器中有半径不同的两个水珠，长期放置会发生什么现 象？ 解：按开尔文方程，半径较小的水珠其饱和蒸气压大于半径较大的。 若密闭容器中水蒸气的压力等于大水珠的饱和蒸气压，则小水珠将蒸 发，使容器中水蒸气的压力大于大水珠的饱和蒸气压，于是水蒸气将在 大水珠上凝结。这个过程不断进行，直至小水珠完全汽化，只留下一个 体积比原来的小水珠与大水珠体积之和略大的水珠。（因为蒸气压略有 减小，故气相的水量略有减小，而液相的水量则略有增加。） 若密闭容器中水蒸气的压力小于大水珠的饱和蒸气压，则小水珠和 大水珠将蒸发，此时有两种可能的结果。一是两个水珠都完全汽化；一 是两个水珠部分汽化，使容器中水蒸气的压力等于大水珠的饱和蒸气 压，以后的过程与前面的相同，最后只留下一个体积比原来的小水珠与 大水珠体积之和小的水珠。 7. 一根玻璃毛细管插入水中，管内水面升高。 若水面上的水蒸气与液体水达到平衡，问图 15-62 中四点(点 2，3 处于同一高度)处的水蒸气压力的 大小应如何排列。 解：如以h'表示点 3 与点 4 的距离，h 表示点 1 与点 3 或点 2 的距离，类似于式(15–45)，可写 出 ' (g) p2 = p3 = p4 + ρ gh
思考题和习题解答 P,=P,+p gh pg(h'th) >P2=P3>P4 注1:在使用式(15-45)时,暗含着一个近似,即假设气体的密度在点1至点4 的距离范围内可看作常数。实际上,气体密度由于受重力的影响,随离地面高度的 增大而降低,符合气压定律。设1处的密度为p,2(或3)处的密度为p2,再 设为理想气体,有 RT P, -P! RT P 按气压定律 (气压定律是玻耳兹曼分布对气体分子在重力场中分布的应用。)将上式exp项展 开为级数,e2=1+x+x2/2l+…,作为近似只保留线性项,上式变为 Mgh M 或 DRT Mgh M RT P,-pl gh 这就是式(15-45)以及上面推导中所使用的结果。 注2:按开尔文方程式(15-55) 3E= 由于P=P1,Pr=P2,故有 而按注1的式(2)和式(3),应有下面严格的式子(设为理想气体) p2 =P RT 如果这两个式子是一致的,2o/(pr)应等于gh。现简要论证如下
·222· 思考题和习题解答 ( ' ) (g) 4 (g) p1 = p3 + ρ gh = p + ρ g h +h ∴ 1 2 3 4 p > p = p > p 注 1：在使用式(15–45)时，暗含着一个近似，即假设气体的密度在点 1 至点 4 的距离范围内可看作常数。实际上，气体密度由于受重力的影响，随离地面高度的 增大而降低，符合气压定律。设 1 处的密度为 (g) ρ1 ，2（或 3）处的密度为 (g) ρ 2 ，再 设为理想气体，有 M RT p (g) 1 1 ρ = ， M RT p (g) 2 2 ρ = (1) (g) 1 (g) 2 1 2 ρ ρ = p p (2) 按气压定律 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − RT Mgh exp (g) 1 (g) 2 ρ ρ (3) （气压定律是玻耳兹曼分布对气体分子在重力场中分布的应用。）将上式 exp 项展 开为级数，e = 1+ + 2!+ ⋅⋅⋅ 2 x x x ，作为近似只保留线性项，上式变为 RT Mgh RT Mgh (g) 1 (g) 1 (g) 1 (g) ρ 2 ρ 1 ⎟ = ρ − ρ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ − (4) 或 p gh RT Mgh M RT p RT Mgh p p p (g) 1 1 (g) 1 2 1 1 1 ρ ρ = − = − ⋅ = − (5) 这就是式(15–45)以及上面推导中所使用的结果。 注 2：按开尔文方程式(15–55) RT r M p pr (l) 2 ln ρ σ = − ∗ ∗ (6) 由于 p = p1 ∗ ， pr = p2 ∗ ，故有 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − RT r M p p 2 1 (l) 2 exp ρ σ (7) 而按注 1 的式(2)和式(3)，应有下面严格的式子（设为理想气体）： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − RT Mgh p2 p1 exp (8) 如果这两个式子是一致的， ( r) (l) 2σ ρ 应等于 gh。现简要论证如下：