第二章水泥混凝土路面应力分析 五、用内力表示的挠曲面微分方程 由式(2-10)知,各项应力分量均为在z的奇函数,因此在厚度方向截面上内力的和为0 表述为:N,=2可y=0N,=」2可,x=0 单位宽度截面上的水平剪力:sn=[xnx=0.sn=豆xnyt=0 Q2=2r=-DVw,() 了、τ合成竖向剪力,表述为: Q,=22 此外,在单元上的应力分量Gn、可、n合成弯矩M1、M,和扭矩Mn=M(2-14) =-D(2+H=2)(3) M,=[2zo,d=-D(+,02w、 ),(4) d==-D(1-4),( (2-14)与(2-10)、(2-12)、(2-13)联立,的到用内力表示的应力表达式 12M (2-14)的(3)代入(2-10)的(1) 12M (2-14)的(4)代入(2-10)的(2) h 12M 4)的(5)代入( h ( n(4 (2-14)的(1)代入(2-12)的(1)>(2-15) (2-14)的(2)代入(2-12)的(2) =-2q(-)2(1+) (2-13)引入边界条件(G) Eh q,再代回 第6页共18页
第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 6 页 共 18 页 五、用内力表示的挠曲面微分方程 由式（2－10）知，各项应力分量均为在 z 的奇函数，因此在厚度方向截面上内力的和为 0 表述为： 2 2 2 2 0, 0 h h N ydz N xdz x x y y h h − − = = = = 单位宽度截面上的水平剪力： 2 2 2 2 0, 0 h h xy xy yx yx h h s xdz s ydz − − = = = = xz 、 yz 合成竖向剪力，表述为： 2 2 2 2 2 2 ,(1) ,(2) h x xz h h y yz h Q dz D w x Q dz D w y − − = = − = = − 此外，在单元上的应力分量 x 、 y 、 xy 合成弯矩 M M M M x y xy yx 、 和扭矩 = （2－14） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ),(3) ( ),(4) (1 ) ,(5) h x x h h y y h h xy yx xy h w w M z dz D x y w w M z dz D y x w M M z dz D x y − − − = = − + = = − + = = = − − (2-14)与（2－10）、(2-12)、（2－13）联立，的到用内力表示的应力表达式: 3 12 x x M z h = (2-14)的（3）代入（2－10）的(1) 3 12 y y M z h = (2-14)的（4）代入（2－10）的(2) 3 12 xy xy yx M z h = = (2-14)的（5）代入（2－10）的(3) 2 2 3 6 ( ) 4 x xz Q h z h = − (2-14)的（1）代入（2－12）的(1) (2-15) 2 2 3 6 ( ) 4 y yz Q h z h = − (2-14)的（2）代入（2－12）的(2) 1 2 2 ( ) (1 ) 2 z z z q h h = − − + ， （2-13）引入边界条件 2 ( )z h z q =− = − 3 4 2 12(1 ) Eh w q = − ,再代回（2－13）
第二章水泥混凝土路面应力分析 (2-15)中的最大值,σ、可可发生在上下表面,xx、x发生在中面,a2发生在顶面 6M 6M 6M 2h 30 2h O 由教材上的图(2-2),写出单元体受力平衡方程,约去二阶微量,整理得: M aM 对x轴力矩平衡:Q1 aMaM 对y轴力矩平衡:Q (2)(2-16) 对轴力矩平衡:2Q2+20+q=0(3) ⊙将(2-16)中的(1)、(2)代入(3)得:M,2M0M+q=0 (2-17) 它与公式(2 0w+0w+7y=9一样,是薄板的挠曲面微分方程的表达式 ax ax oy ay d §2.3弹性地基板的荷载应力 板与地基接触关系假设 当板置于弹性地基上并与之共同工作,在分析时,除了前面所作的弹性小挠度薄板的假设仍 然适用外,在解题时还应对板与地基之间的联系做补充 补充假设如下:1在变形过程中,板与地基始终紧密接触,因此地基顶面的垂直位移与薄板 中面的垂直位移相等(上下协调变形 2板与地基的接触面上无摩擦阻力,可以自由滑动,即层间水平剪力为0 地基对板只有垂直作用 此时,弹性地基板的弹性挠曲面微分方程为:Dv2v2=q-p 式中的q—不同于上节的q是板顶的均布荷载 第7页共18页
第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 7 页 共 18 页 (2-15)中的最大值， x y xy 、 、 发生在上下表面， xz yz 、 发生在中面， z 发生在顶面 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 6 | | 6 | | 6 | | 6 | | 3 | 2 3 | 2 | x x h x h z z x y h y h z z xy xy h xy h z z yx yx h yx h z z x xz z y yz z z h z M h M h M h M h Q h Q h q = =− = =− = =− = =− = = =− = − = = − = = − = = − = = = = − 由教材上的图(2-2)，写出单元体受力平衡方程，约去二阶微量，整理得： ,(1) ,(2) 0,(3) x xy x y xy y x y M M x Q x y M M Q y x Q Q q x y = + = + + + = 对 轴力矩平衡： 对y轴力矩平衡： 对z轴力矩平衡： （2－16） 将（2－16）中的（1）、（2）代入（3）得： 2 2 2 2 2 2 0 M M M q x x y y + + + = （2－17） 它与公式（2－ 4 4 4 4 2 2 4 w w w q x x y y D + + = 一样，是薄板的挠曲面微分方程的表达式 §2.3 弹性地基板的荷载应力 一、板与地基接触关系假设 当板置于弹性地基上并与之共同工作，在分析时，除了前面所作的弹性小挠度薄板的假设仍 然适用外，在解题时还应对板与地基之间的联系做补充。 补充假设如下：1 在变形过程中，板与地基始终紧密接触，因此地基顶面的垂直位移与薄板 中面的垂直位移相等（上下协调变形） 2 板与地基的接触面上无摩擦阻力，可以自由滑动，即层间水平剪力为 0， 地基对板只有垂直作用。 此时，弹性地基板的弹性挠曲面微分方程为： 2 2 D w q p = − 式中的 q——不同于上节的 q,是板顶的均布荷载