表24需值=（一2的前六个 A A As 000 .000 .001 On. 0.000 0.000 000 .000 .000 0.000 001 000 0.0001 -0.0001 .002 0.000 0.000 0.0001 -0.001 0.0019 -0.0004 0.003 -0.0002 00 0.0020 -0.0009 0.00s -0.003 0.0030 -0.01 0.007 -0.004 1.013g -0.0158 4.040 -0.018 -0.006 1.0159 -0.0197 -0.02 0.013 1.0312 -0.0381 0.010 -0.D045 1.0450 -0.0555 0.0148 -0.067 1.0581 -0.0719 0.0196 -0.089 1.0701 -0.0873 1.0813 -0.1025 0132 0.02 021 0.0124 -0.0080 00316 0.0184 -0.0119 a.0241 -0.0157 0.15 -0.0589 0.0351 -0.0231 -0 3215 0.1395 -0.0750 0.0451 -0.0300 -0.3442 0.158 -0.0876 0.0543 0.0366 -0.3604 .1740 -0. 091 0.0626 1.2532 -0.3722 0.1861 109 0.0701 1.2560 -0.1174 4.0768 1.2596 -0.1246 1.2612 g 0.2104 1.267m 1.2699 1.2717 1.274 101 -0.1069 -0.1098 02520 -0.1115 0.423 0253 -0.180 0.1394 -0.1132 .4231 0.2539 -0.1808 0.1405 -0.1141 1.2732 0.4244 0.2546 -0.1819 0.1415 -0.1157 31
2.2.3非齐次边界亲件多于一个时的稳态导热 如果如图2.1所示的矩形柱体的4个边界条件中，非齐次边界条件多于一个时，虽然不能 直接用分离变量法求解，但是可以变为几个简单的导热问题。每个简单导热问题中，非齐次边 界条件只有一个，然后用分离变量法求得每个简单导热问题的解，最后，把这几个简单导热问 题的解叠加起来，得到原导热问题的解。个非齐次边界条件，可以分解成个简单导热问题 图2.5所示的矩形柱体，边界条件如图示。由图可见，4个边界条件都是非齐次的，因而这个问 题可以分解为4个简单导热问题。求解原理如图示 (ry =0 30 图2.5多个非齐次边界条件的昆态导格 这里要注意一点，每一个简单导热同题中的三个齐次边界条件，一定要是原非齐次边界身 件对应的齐次边界条件。例如，x=0处是非齐次的第三类边界条件，其对应的齐次边界条件应 是齐次第三类边界条件。 2.2.4变导热系的二维稳态导热 如果导热系数随温度的变化不可忽略，就成为一个变导熟系数的导热问题，变导热系数时 的导热微分方程是非线性的，用基尔霍夫变换可把非线性的导热微分方程变为线性的微分方 程，设导热系数=A(),导热微分方程为 割+别别=0 (2-32) 作基尔夫变换 T()=[Ad')dr (2-33 则有 32
所以，式(232)变成 部+部-0 (2-34) 式(234)与常物性的导热微分方程形式上完全相同，所不同的仅是以变量T代替： 在对微分方程作基尔霜夫变换的同时，边界条件也应作相应的变换，因此只有在第一类或 第二类边界条件时，通过基尔霍夫变换，边界条件才能变成线性边界条件，所以基尔届夫变换 才有效。 对于新的变量T,可以用分离变量法求解，在T求得后，再求出温度：的值。 2.2.5含内热源的二维稳态导热 含内热源的导热问题，导热微分方程中出现源项，因而变为非齐次的偏微分方程 票+要+贤0 (2-35) 在确定的边界条件下，就可求得其温度场的解，设温度杨的解由两部分组成，即 tx,y)=u(x,y)十o(x,y) (2-36) 其中，0(x,y)是微分方程(2-35)的任一特解，亦即(x,y)只满足微分方程(2-35)，而不满足原 导热问题的边界条件。而u(x,y)满足式(2-35)对应的齐次徽分方程，即 整+装=0 而且u(x,y)十(x,y)满足原导热问题的边界条件，由此推导出u(x,y)的边界条件。由此可 见，含内热源的导热问题的求解，首先求非齐次方程的任一特解，然后求相应的齐次方程的解 u(x,y),(x,y)的求解方法与元内热源导热间题的方法相同。 例2.4图26所示的长矩形柱体边长分别为 L和2L. 柱体内有均匀内热源0,4个 边界上均维持常温，试求柱体内温度分布的表达式。 西2.6含内热源矩形柱体导热 解：这是一个含热源的二维稳态导热问题。由于边界条件的对称性，坐标轴如图选取。导 热微分方程及边界条件为 整++贤-0 33
是-0 x=0 0 y=0 tat x=h t=tw y=L 由于热源为常量，一gox2/2λ是非齐次方程的特解，取v(xy)=一qx2/2A十c,式中常数G 待定，而u(xy)由齐次方程及其边界条件解得，即 整+-0 u(x,y)的边界条件可由 u(xy)=t(x,y)-(x,y） 盖法出 影密 代入原边界条件求得 密-0 x=0 a 费-0 y=0 u=罗-e+女。x=山 u=g毁2-e+ky=L 为了使x=L的边界条件变为齐次，得 2器-c+.=0 c=+8因 代入式(c)和(d)后，w的边界条件变为 -0 x=0 =0 y=0 ·34
· =0 I=L u=qw(z-Lj)/2X y=L 由于只有一个非齐次边界条件，所以可以直接用分离变量法求解，解得 -学-1r%se .=(2m-1)x/2m=1,2,3… 最后得到温度场的解为 t(x,y)=u(x,y)十(x,y) -22-ir2%.a +e(L片-x2)/2λ+t. (2-37) 2.3圆柱坐标系中的二维稳态导热 圆柱坐标系(，，z)中，常物性时的导热微分方程为 要+培+路+要+号-0 (2-38) 在圆柱坐标系中的二维稳态导热，只有自变量是(，)及自变量是(，z)的两种情形，没 有自变量是(9，之)的二维稳态导热。这里顺便说一说，在圆柱坐标系中，只可能有以自变量r 或：的一维稳态及非稳态导热，以自变量为仰的一维非稳态导热及有内热源的一维稳态导热 是不存在的（且只有在第一类边界条件时，才存在无内热源的以为自变量的一维稳态目 热)。 2.3.1空间变量为(，p)的二维稳态导热 在圆柱坐标系中，如果温度与空间变量x无关，物体中的导热就是空间变量为(“，的二 维稳态导热，如图2.7所示，物体中的数学描述为 +浮+聘-0 (2-39) t=0 0 (2-39a) t=0.,=4(9<2x) (2-396) t=0 ren (2-39c) -=aft-H()]r=r (239d) 35