a.t p) t(r.9) t=0 图2.7变量为(，p)的二维稳态导热 应用分离变量法，假定方程(2-39)有变量分离形式的解 t(r,9=R(r)b() (2-40) 微分方程(2-39)变为两个常微分方程 p'+D=0 (2-41) =0=0 (2-41a) Φ=0 州 (2-41b) g+IR-ER-0 (2-42) R=0 r=1 (2-42a) 式(2-41)描述的是我们熟知的特征值问题，特征函数及特征值为 D.(p=sin(Bnp） (243) sin(B)=0 月A-.=mx m=1,2,3,… 式(2-42)的解为 -[-] (2-44) 因此，温度场的解为 :(r.p)->C_R_(r)0_(p) (245) 温度场的解(2-45)必须满足非齐次边界条件(2-39)，由特征函数的正交性，得到 ·36
2h()dd C.=AhR+R】 (2-46) 式中 h=a/a R-- Rw-竖，-[A+] 以空间变量(：，P)的二维稳态导热问题中，只有当=0及P=网的边界为齐次的第一类和 第二类边界条件时，才能用分离变量法求解，下面讨论几个特殊问题。 (1)零是特征值之 在有些条件下，例如当=0及P的两个边界均是绝热边界条件时，特征函数 .(p)-cos(P-p) 面特征值由 sin(B)=0 决定，所以 BA=mx,m=0,1,2,… 0也是一个特征值。此时，式(2-42)变为 R+1R'=0 R.(r)=6:+b:lmr (2-47) 式中，b及b:是待定常数。 (2)n=0的情形 当1=0时，r=r1处的边界条件变为r=0时，温度值有界，因而R(r)也应有界.所以，R (r)中，不应出现lnr及r项。 (3)=2x的情况 当=2x时，物体变为实心圆柱或空心圆管，=0及处的边界消失。此时温度函数 应是以2x为周期的周期函数，即 t(r,g)=t(r,p叶2x) 2北到 因此，特征函数 D(p)=Acos(m)+Bsin(mp) (2-48) 37
m=0,1,2,… 式中，A,B是待定常数。 例2.5一实心长圆柱，半径为rr=,的边界与环境换热，换热系数a为常数，但环境温 度4随周向位置P而变化，4=（到）。试求温度场的表达式。 解：本例是以(，P)为自变量的二维稳态导热，其数学描述为 +是+片帮-0 t=有限值r=0 -A是--p] r=ro tr,p=tr,p叶2x) t(r,p)/w=(r,p+2r)/ 用分离变量法，t(r,)=R(r)p()。本例中，相当于1=0及A=2x的情况，特征函数为 D.(p)=A.cos(A.p）+B.5in(月p 月。=n,n=0,1,2,… 相应的R(r)为 R.(r)=r. 所以，温度函数为 t(r,)=A.+Er[A.cos(mp)+B.sin(mp)] 由于特征函数的正交性，由非齐次边界条件求得 A。= u()de 2x A=Bm4peos(m时ay Bi 式中，Bi=aro/入，把系数代入后，得到温度场的解为 c,9=4g)g +2到引年4oas0g-叫 (2-49) 2.3.2空问变量为(r,z)的二维德态导热 有限长度的实心圆柱体或圆管有4个边界（短圆柱的中心线也是一个边界）。如果温度场 与无关，则其温度场只与空间变量：，z)有关.圆柱形针形肋内的导热就属于这类问题.由于 短圆管内导热问题的解较为复杂，本节中以短圆柱内的导热为例讨论变量为(，x)的二维稳态 导热。 ·38
除中心线以外，短圆柱有三个边界：=。的圆柱面及两个端面，当此三个边界条件中只有 一个非齐次边界条件时，可以直接用分离变量法求解，但非齐次边界所处的位置不同，求解过 程略有不同，下面分别讨论之 (1)非齐次边界条件在圆柱面处 如图2.8所示的短圆柱，边界条件示于图中。该问题的数学描述为 票++=0 (2-50) t=有限值 r=0 (2-50a) -λ是=a4化-a) r=ro (2-50b) -毫-e z=0 (2-50c) -A2=r z=L (2-50d) r 一a' 图28短圈柱内稳态导热 用分离变量法求解，设 t(r,z)=R(r)Z(z) 式(2-50)变为 R+片== (2-51) 原导热问题变为两个常微分方程 Z+Z=0 (2-52) Z'-h:Z=0 x=0 (2-52a) Z'+h,Z=0 =L (2-52b) 式中：h:=a/a,h=a/a. 及 R"+R'-BR=0 (2-53) ·39·
R有界 r=0 (2-53a) 式(2-52)所示的是特征值问题，其形式和直角坐标系中的特征值问题相同，所以其特征函 数、特征值的表达式以及特征函数的模可由表22中查出，得到 Z-(z)-B-cos(B.z)+hgsin(B.) (2-54) 而常微分方程(2-53)是零解修正贝塞尔方程，其通解为 R(r)=Cl(9.r)+C,K(R） 由于r=0时，K。(R)趋于无穷大，而此时的R()应有界，故C,=0,所以 R()=1(Br) (2-55) 温度场的完全解为 :(r.z)-EC-R-(r)Z_(z) (2-56) 由于特征函数的正交性，由非齐次边界条件(2-50-b)得到 tZ(z)dz C-NR.Rnh+ (2-57) 式中，h1=4/ 式(2-54)、(2-55)及(2-57)代入式(2-56)，就得到温度场的解。 (2)非齐次边界条件在端面 在这种条件下，短圆柱内导热问题的数学描述为 华++整-0 (2-58) t=有限值 7=0 (2-58a) -入学=4 r=ro (2-58b) -是-4 z=0 (2-58c -λ=4-) 名=L (2-58d) 由分离变量法，得到两个常微分方程： R+1R'+BR=0 (2-59) R有界 r=0 (2-59a) R'+h,R=0 (2-59b) ·40