图2.2中同时表示出4,5、6三种情形下特征值的图解 例2.1图2.3所示是一个长矩形柱体的横截面，边长分别为L和L:,材料为常物性。由于 柱体很长，且边界上的换热条件与坐标z几乎无关，因而可看作二维稳态导热，边界条件如图 中所示，试求柱体内温度场的表状式 解：柱体内温度场的数学描述为 +碧-0 0=0 x=0 0=0 x=h 0=0 y=0 0=tsin(/L) y=L 式中，0=t(x,y)-t1 tu tugsin(xlLy) L: 围23矩老柱体内昆态孕热（例.1） 令(x,y)=X(x)Y(y),分离变量后，得到两个常微分方程： X"+X=0 X=0 x=0 X=0 I=L Y-8Y=0 Y=0 y=0 查表22，在本例边界条件下的特征函数，特征值及特征函数的模分别为 X-(z)=sin(A_r) 26
sin(B.L)=0 月L1=n=mr m=1,2,3 1/Ng=2/L, Y(y)的解为 Y-(y)=sh(B.y) 因此，过余温度的完全解为 0(z.y)=EC_X-(z)Y-(y) (x,y)必须满足y=L:处的非齐次边界条件，即 tuasin(xz/L)=C_X_(z)Y_(L:) 由此得 C1=t:/Y.(L) C.=0 m=2,3,4… 最后得到温度场的表达式为 a.tin(/ (2-26) 例2.2例2-1中，y=L:处的边界条件变为：=6，其他条件不变，试求温度场的表达式 解：本例的求解过程同例21，温度场的完全解为 9(xy)=C.X.(xY.) 温度场的解必须满足y=L:处的边界条件，即 tn-tm=>C.X-(z)Y.(La) 得到 NLY.(L:) =岁.1-cos(】 式中，.=m,m=1,2,3,.当m为偶数时，C=0:当m为奇数时，[1一cos()门=2。最后 得到温度场的表达式为 ”之-2n2引品 tt-上i (2-27) =(2m-1)元，m=1,2,3 27
求得温度场以后，就可由傅里叶定律求解通过y=0的那个边界导入矩形柱体的热量 .d =x-tn)2she27西 (2-28) 下面，从本例中温度场及导热量的解出发，讨论二维稳态导热简化为一维稳态导热的条 件。当L《时，若近似按一维稳态导热计算，则导热量为 Q=A(ta-tu)L/L: 因此，按二维及一维导热算出的导热量之比为 8L:/L Q,/Q-三h7-f4L） L/L,不同时，经计算得到的Q/Q1的值列于下表2.3. 表2.3 lafin 0.0070.01 0.050.08 0.1 Q:/Q 0.987 0.912 0.956 0.93 g12 由上表可见，如果L/儿，<0.1，即宽边边长是窄边边长的10倍以上时，本例所示矩形柱 体内的导热量可近似按大平板的一维问题计算。 例2.3图2.4所示是一个等截面直肋，肋厚b=28,肋基温度为，肋表面和肋端与环境 间的对流换热系数为g,流体温度为4，试确定肋内温度分布及散热量。 图24直助导热 解：设无量纲温度日=(：一/(。一)，直助内的导热徽分方程及边界条件为 是+碧-0 6=1 x=0 -Aa ar=and x=L 3/a=0 y=0 28
-30/a=ad y=8 用分离变量法，设(x,y)=X(x)Y(y),得到两个常微分方程，注意到y方向上的两个边 界条件是齐次的，因而Y(y)函数的常微分方程是特征值问题。 Y+y=0 Y'=0 y=0 Y'+hY=0 y=8 X(x)的徽分方程为 X-X=0 X'+hX=0 x=L 式中，h=a/a 由表22查得，特征函数、特征值及特征函数的模分别为 Y.(y）=cos(B.y） E.tg(E)=Bi 胚十足 1/=2a++h 2单+B2 =奇（十B)+B 式中，.=A0,Bi=hd-。 对应于不同的A.,X.(x)的解为 X-(z)=B.ch[B-(L-x)]+hsh[8_(L-x)] 助片内温度场的完全解为 0(xy）=CX.(xY.y) 利用x=0处的非齐次边界条件，可以解得 [Y.(y)dy C.-NEX.(0) 2(年+B)sin(.) 一年+B+BX.可 (2-29) 式中，X.(o)=A.ch[A.L]+hsh[B.L] (2-30) 则有 ·29·
C.=A./X(0) 由于A.的值以后还会遇到，而且在工程计算中常会用到，这里较详细地讨论A的特点。 首先，我们指出A.仅与B有关。其次，由特征值表达式，得 sin()=Bicos() 因而 sin()=Bi'cos'()=Bi"[1-sin'()] 解得 si(e)=士Bi/WBr2+年 如前所述，在本例的边界条件下，特征值点。有如下关系 (m-1)π<.<(2m-1)x/2 n=1,2,3… 即第一个特征值在第一象限，第二个特征值在第三象限，特征值依次在第一象限与第三象限间 循环。当m为奇数时，式(a)取正号，而m为偶数时，取负号，因而 sin(e)=(-1)+1·Bi/W√B+ (2-31) 不同的B数时，A的前6个值列于表2.4中。矩形直肋内的温度场为 -2AasR毫得 由表2.4可见，当B以=<0.1时，A≈1，A.≈0(m>1时)，所以温度场的级数解可近 取第一项。况且由于Bi很小，第一个特征值很小，sin()≈，cos()≈1.0，第一个特征值 为 名·sin(%)≈好-Bi =v® 同时，cosg)=cos5音)≈1. 把这一些结果代入后，得到小毕逢数时矩形直肋内的温度场为 t红，》-b[vBL-/B]+Esh[mL-x/8 to-ty ch[®L/]+√Bsh[√BL/6] 这个结果与按一维温度场求得的解完全相同。这就是说，当Bi<0.1时，矩形直助内的导热可 近似按一维导热处理。 30