热源。当稳态导热时，物体内温度场满足拉普拉斯方程。边界条件中，只有一个边界是非齐次 边界条件，这里设y=L:的边界是非齐次边界条件，因此，物体内温度场的数学描述为 票+帮=0 (2-8) 4蠹-=0 x=0 (2-8a) 4+4=0 x-L (28b) 4务-=0 y=0 (2-8c) 人影+e=ae侧y= (2-8d) r-0 t=0 图2.】矩形柱体内雅声导热 式中，一入及一既可表示导热系数和边界处的对流换热系数，又可作为一个符号。当 =0(j=1,2,3,4)时，表示j边界是第一类边界条件：a,=0(=1,2,3,4)表示j边界是第二 类边界条件：第三类边界条件时，入，=入表示导热系数，是j边界处的换热系数 上述导热问题可用分离变量法求解，设解的形式为 :(x.y)=X(z)Y(y) (2-9) 对式（红9）求偏号数是旁票要后，代入微分方程及边界条件后，得到 YX+XY-0 (2-10) AX'-aX=0 x=0 (2-10a) A:X'+a:X=0 x=L (2-10b) AY'-a;Y=0 y=0 (2-10c) (2-10d) 对式(2-10)分高变量，得到 21·
发-罗伊 (2-11) 式中，B是与x、y无关的常数 这样，就把偏微分方程转化为两个常微分方程 X"+3X=0 (2-12) AX'-aiX=0 x=0 (2-12a) X'+a2X=0 x=L (2-12b) YM-Y▣0 (2-13) AY'-a;Y=0 y=0 (2-13a) 之+au=） y=L: (2-13b) 式(2-12)定义的定解问题称作特征值问题，其通解为 X(z)=cicos(Bx)+c:sin(Bz) 代入边界条件(2-12a),得 X(x)=cI'[Bcos(Bz)+hsin(Bz)] (2-14) 式中，h=a/A,'=G/B。 再由边界条件(2-12b),得到 ctg() (2-15) 式中，=L,B1=aL/a,B=L/A 满足超越方程式(2-15)的：值（或B值）称为特征值.由式(2-15)可见，（或）值有无穷多 个，用A.(或)表示。式(214)省去常数c后称为特征函数，对应于不同的特征值，得到相应 的特征函数 X.(x)=月cos(R.x)+hsin(x） (2-16) 对于每一个特征值，由微分方程式(2-13)及边界条件(2-13a)可以解得（省去常数） Y-(y)=B_ch(B-y)+h3sh(B-y) (2-17) 因而，对于每一个特征值，得到温度函数为 t(z,y)=C_X.(z)Y_(y) (2-18) C.是式(2-16)及式(2-17)中省去的常数的乘积，式(2-18)满足导热问题的微分方程及三个齐 次边界条件，是方程(28)的特解，也称基本解。基本解的线性叠加，构成温度场的完全解 (xy）=C.X.(xY.y) (2-19) 22
式(2-19)中的C.是待定常数，它可由导热问题中唯一的一个非齐次边界条件确定。由非齐次 边界条件(2-8d),得到 3C.X.(x)Y.'(L)+h,3CX.(xY.(L,)=h(x) 即 C.[Y.'(L)+hY.(L)]X.(x)=h(x) (a) 式中 Y.(L:)=Y-(y)Iy-L=8.ch(B_L:)+hash(B.L:) Y-L)--B-sh(B-La)+B-hych(B-La) 式(a)等式左右两边各乘以X,(x),并在[0，L]内积分，X,(x)=B.cos(mx)十hsin(B. 0 当n卡m x)。由于特征函数的正交性，即X(x)X,(x)dx= N(月)当n=m 得到 ht(z)X-(x)dx C.=N(R.iY)+hY.】 (2-20) 上式中，N(B)=x'(x)dx称为特征函数的模或范数，上述积分称为就范积分。范数 N(8)也可用N表示. 至此，用分离变量法求得了所讨论的导热问题的解。 2.2.2特征函数、特征值及模 特征函数、特征值及模由特征值问题的两个齐次边界条件完全确定，不同边界条件下的特 征函数，求特征值的表达式以及特征函数的模由表22所示 表2.2边界件为下列表格所示，微分方程为X+伊x(x)=00<x<】 的解X(Ax)、范数N(A)和特征值R xm0处的 -上处的 。是下面方 边界条件 边界条件 X(B) 1/N2.) 穆的正根 竖+HX-+Hx-eoa+[+m(+华m+] .L-马吉提 2 警+Hx-整-0 cosB(L-z) +H B-tan8LH 3 警+x=中0 sing.(L-x) z骨品 BncotL=-H x=0 cosx 2导 8-tan8_LmH: ·23·
续表 x=0处的 x=L处的 队是下面方 X(.r】 1/W2(.） 边界条件 边界条件 程的正根 -0 -0 'eoa月r 月≠01是-01 singL-0' 是 co8-L-0 X=0 月co月L=-H: X-0 coB-L-0 9X=0 X=0 sinB_L0 ·对于这种特殊情况，风=0也是一个特征值，对应于X=1。 由表22可见，计算特征值的表达式有如下6种形式： (1)两个齐次边界均是第一类边界条件，此时，特征值由下式求得 sin(B_L)-0 (2-21) 月nL1=mr=.n=1,2,3,… 月n=mx/L (2)两个齐次边界条件均是第二类边界条件（绝热边界），此时，特征值由下式求得： sin(8-)=0 (2-22) 其形式与式(221)完全相同，但特征值却有所不同。这里 B.L,■(m一1)x=6。m=1,2,3,* 即A.=0也是一个重要的特征值，不能遗忘，这是因为，此处的特征函数为c0s(Bx),A=0时 常数1也是特征函数，而在前一段中，特征函数为si(Bx),当A,=0时，特征函数是0，因而可 以略去， (3)两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，另一个是第二类边界条件，此时，特征 值的表达式为 cos(BL)=0 (2-23) .L1=(2m-1)x/2=.m=1,2,3, (4)两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，另一个是第三类边界条件。这里假设 x=0处为第一类边界条件。在此条件下，特征值的表达式为 Bctg(月.Li)=-hz (2-24) 或 Ectg()-Bi (2-24a) .的前6个根可由附录1.2中查到。式(2-24)中的每一个根，存在如下关系 (2m-1)x/2<.<mrm=1,2,3… 24
(5)两个齐次边界条件中，一个是第二类边界条件，另一个是第三类边界条件，这里假设 x=0处为第二类边界条件。此时，特征值由 B.tg(B.L)-ha (2-25) 或 ctg(6.)-6-/Bi (2-25a) 确定。其前6个根可由附录1.1中查到，而且有 (m-1)r<<(2m-1)x/2m=1,2,3… (6)两个边界都是齐次第三类边界条件，此时，特征值由式(215)决定，特征值不仅与 Bi:有关，而且与B弘，有关，当Bi,=Bi2=Bi,即两个边界处的对流换热系数相同时，式(2 15)变为 特征值的图解如图2.2所示。令： u=ctg() -+ 在图上标绘一及)一：的曲线，两曲线的交点即为特征值。由于u=cg()是的以元为周 期的周期函数，在一个周期内，其值在（一∞，∞）间单调变化：而v是的单调增函数（可以证 明在>0时，du/d>0),所以在一个周期内和的曲线必有一个，也只有一个交点（即特征 值)因此， (m-1)x<<mxm=1,2,3… 1im(.--)=x Bi ctg(e) 图22特征值的图解 ·25