性地绘出物体内的温度分布曲线。 图1,5习题1.2附函 1.3一直径为的钢圆柱以恒定的速度U从一冷却装置中通过。假设圆柱进入冷却装置 前表面温度均匀为，而进入冷却装置后表面温度均匀为妇，试写出长期运行情形下该导热问 题的数学描述。 1.4一个戴面为矩形的柱体由两层不同的材料组合而成，每一层的截面都是矩形，一边长 为L,另一边长（即层厚）分别为8和，如图1.6所示，边界条件如图示，试写出本导热问题的 数学描述。并讨论L,的条件下，可以作哪些简化。 图1.6习题1.4附图 16
参考文献 「1门埃克特，E,R,G、镇雷克，RM.著，航青译，传热与传质分析，科学出版杜，1983 [2]杨世铭编，传热学，第二版，高等教育出版杜，1937年，第二章 [3罗， 等主编，李 传 熟学手册（上册），科学出版社，1985，第二章 钱该江伍文常家芳了一鸣编，简明传热手，离酶教育出版社1984，第二章，附录1、】 [5]奚同庚，无机材料热物性学，上海科学技术出版社，1981，第四章 [6]奥齐西克，M.N.着，俞昌铭主译，热传导，高等教育出版社，1983，第十五章 [7]王补直著，工程传热传质学（上册），科学出版杜，1982，第一章 [8]张洪济，燕传导，高等教学出版社，1992，第一章 []Beck.J.V,Blackwell,B.and St.ClairC.R.Heat Conduction.I4-Pesed [10]数学手册编写组，数学手研，人民育出版社，1979，第14章 门帕短卡，S ,传热与流体流功的数值计算，科学出版社，196 [12]孔祥濃编着，有限单元法在传热中的应用，第二版，科学出版社，1986 [13]严更、丁方明编著，边界元法基础，重庆大学出版社，1986 [14]陈景仁著，流体力学及传热学，国防工业出版社，1984 [15]Prigogine,L,Thermodymamies of Irreversible Processes,Wiley-Interscience,New York,1961 17
第二章多维稳态导热 稳态导热时物体内的温度分布是两个或三个空间坐标的函数，则分别称为二维稳态导热 和三维稳态导热，统称多维稳态导热。多维稳态导热时，导热微分方程是偏微分方程，因而其求 解方法是偏微分方程的求解方法，其中分离变量法是经典而有效的方法，本章主要介绍直角坐 标系及圆柱坐标系中的二维稳态导热的求解方法，其分析的基本原理和方法同样适用于三维 的情形。关干求解多维稳态导热的更详尽的资料，可参阅文献[1,2]。 2.1分离变量法 现以直角坐标系中的导热为例，对分离变量法的基本思路作一扼要的介绍。 2.1.1非稳态导热的分离变量法 为说明分离变量法的基本概念，为此须分析某物体中的齐次导热向题，为了讨论的一般 性，在物体中取正交坐标系x(任=1,2,3)，物体的边界为6≤x,≤d4(6,和d,是常量)，边界上 均是第三类边界条件。该问题的导热微分方程及定解条件为 是-名盘) (2-1) H-ha=0=6 (2-1a) H远，tha=0x=d (2-1b) t=f(z) r=0 (2-1c) 上式中，H:是正交坐标系的拉梅系数 分离变量法假设温度函数是(m十1)个单元函数的乘积（其中n是空间坐标数目），即 t(zi)=X(z)X:(z:)X;(z)r(r) (2-2) 由此，可以求得 -r2 (2-3a 是-园 (2-3b) 18
品器到 (2-3c) 把上述关系代入微分方程及边界条件，得 得-aax[品] (2-4) X(x)/H-h1X:(x)=0 (2-4a) X()/H,+h.aX,(x)=0 (2-4b) 式(2-4)的左边仅含T()及其导数()，而右边仅是空间变量的函数，要使式(2-4)在物 体内时时、处处成立，等式(2-4)只可能等于与空间坐标及时间无关的常数。因此，得到 得-名成西[品] =一 (2-5) 由式(2-5)得到 T()--a8T(E) (2-6a) 及 名x[品2]-m (2-6b) 式(26b)的边界条件就是式(2-4a)及(2-4b)。 如果式(26b)可变为”个常微分方程，才有可能用分离变量法求解，研究结果表明，在 11种正交坐标系中，可分离成常微分方程。我们将这11种正交坐标系列于表2.1中，表中同 时注明了可作为分离方程解的函数形式[1]，关于表2.1中所列的函数的定义，读者可参阅文 献[4]. 显然，能否用分高变量法求解，尚与边界条件有关。式(24)中，如i=1,得 X1'(x1)/H1-hX1(x1)=0 只有当拉梅系数H仅是的函数时，上式中只包含有自变量，才能用分离变量法求解。所 以在某些正交坐标系中，在第一类或第二类边界条件下，能用分离变量法求解，而在第三类边 界条件下，则不能求解。 表2.1对方程(2-6)与拉普拉斯方程能作简便分高的正交坐标系 坐标系 出现在解内的函数 。直角 指数函数，三角西数，双曲西 2.图-柱 贝塞尔函数，指效函数：三角函 3椭圆柱 马挑厄(Mathieu)西数，三解函数 4抛物经-世 韦伯(Weber))画数，三角面数 5.球 新让德函数，幕面数，三角函数 6,长球面 新止德函数，三角函数 19
缘卷 坐标系 出现在解内的函数 1偏球西 让函数，三角西数 8.抛物面 贝塞尔随数，三角蓝数 9.使面 拉梅Lame)函数，幂西敦 10.图而 拉棒函数 11.抛物体 贝尔(Baer)函数 在上述11种正交坐标系中，直角坐标系最为简单，应用最广泛，其温度场的解中出现的葡都 是初等函数，而在其他坐标系中会出现各种不同的特殊函数（如圆柱坐标系中会出现贝塞尔函 数)，本书以讨论直角坐标系及圆柱坐标系中的分离变量法为主。 在直角坐标系中，拉梅系数H:均等于1，边界处的一个坐标b,可取为0，微分方程及定解 条件变为 含X()+x(a)=0 (2-7) X,(x)-h.1X,(x)=0 =0 (2-7a) X:'()+()=0 z=di (2-7b) 由式(27)描述的问题，在数学上称为特征值问题。潮足微分方程式(2-7)及边界条件 (2-7a)及式(2-7b)的A称为特征值，X,(x)称为特征函数。关于特征值问题，一般的数学教材 中都有详细的介绍。 由上述介绍可知，用分离变量法求解非稳态导热问题可归结为求解特征值问题，在以后的 章节中将详细介绍这种方法。 2.1.2德态导热的分离变量法 稳态导热的导热微分方程中，非稳态项消失。对于一个维稳态导热问题，如果在=， 及x=d,的2：个边界中，只有一个边界的边界条件是非齐次的，才有可能直接用分离变量法 求解此导热问题，假定温度分布是所含的个空间坐标的单元函数的乘积，从而使导热微分方 程分离成个相应单元函数的常微分方程，其中，(m一1)个分离函数的常微分方程带有齐次边 界条件，因而构成与非稳态导热相同的特征值问题.由各特征值问题求得相应的特征函数及特 征值，由n个分离函数组成原导热微分方程的特解（又常称基本解）然后，根据线性叠加原理 将全部基本解线性叠加构成原导热问题的完全解。最后，根据正交函数的正交性质，由一个非 齐次边界条件，确定线性叠加时所包含的待定常数，最终获得原导热问题的解。 能用分离变量法求解的正交坐标系列于表21中。 2.2直角坐标系中的二维稳态导热 2.21无内热源常物性二维稳态导热 图21所示的矩形截面的柱体，其温度场仅是x,y的函数，材料为常物性，物体内没有内 …20·