使求解的难度和工作量大大增加。由于本课程所研究的内容仅是用分析法求解导热问题，除极 少数情况外，用分析法求解耦合问题是不可能的，为此，对边界条件必须作简化处理，人为地把 二者分开，并用经验方法确定环境对物体边界的热作用，然后独立求解物体内的导热问题。 导热问题中常见的边界条件可以归纳为以下三类： (1)第一类边界条件 第一类边界条件是直接给出边界面上的温度分布及其随时间的变化规律。其最简单的典 型例子是边界面上的温度保持常数.假如，能直接测定边界上的温度，就成第一类边界条件。 。保持为0的第一类边界条件，是齐次的第一类边界条件 (2)第二类边界条件 第二类边界条件是直接给定热流密度g、在边界上的分布及其随时间的变化规律，？保 持常数是其典型例子 =0称为绝热边界条件。绝热边界条件是齐次的第二类边界条件。 (3)第三类边界条件 第三类边界条件规定物体周围的流体温度：以及物体表面与流体间的对流换热系数。 (或总换热系数)。4可以稳定不变或随时间变化，：可以是局部值或平均值。在本书研充的范 围内，a作常数处理. =0时，称为齐次的第三类边界条件。 时间条件和边界条件称作泛定方程的定解条件 导热方程和单值性条件决定了相应导热定解问题的性质，若方程和边界条件都是线性的， 则定解何题是线性的。反之，若方程和边界条件不都是线性的，定解问题变为非线性的，辐射 换热边界条件、沸腾换热边界条件是典型的非线性边界条件，变导热系数时的导热方程是非线 性方程的典型例子，非线性的导热问题求解相当困难，在有些情况下可采用线性化方法或其他 变换方法进行处理，但一般情况下只能采用数值求解方法。 1.5无量纲的导热方程 导热微分方程在一定的单值性条件下，可以得到温度场的解，解的一般形式为 (x,几何条件，物理条件，初始条件，边界条件) 可见，温度场的解，与许多表述单值性条件的参数（变量）有关，如果引进无量纲变量，可以减少 变量的数目。 为了说明无量纲的导热方程及无量纲变量的物理意义，我们讨论如下大平板的一维非稳 态导热，设平板材料的物性为常数，平板内有均匀内热源，平板厚度为L,其导热微分方程及定 解条件为 上是-整+贤0心< (1-33a) 初始条件为 t=0<x<L=0 (1-33b) 边界条件为 是=0=0，>0 (1-33c) -入=a(-) x=Lt>0 (1-33d) 定义新的无量纲变量为 11
无量纲强度日一二含 (1-34a) 无量纲坐标“=无 (1-346) 毕湿(Bio)数Bi= (1-34c 无锅热原6=品合 (1-34d) 傅里叶数F0=铝 (1-34e) 把上述无量纲量代入微分方程及定解条件，得到无量纲导热微分方程 票-2+c 0<<1,Fo>0 (1-35a -0 u=0,Fo>0 (1-35b) 2+B0=0 u=1,Fo>0 (1-35c) 0=1 0<<1,F0=0 (1-35d) 有量纲微分方程得到的温度杨的解为 t=t(x,r,L,入，arastist,a) (1-36) 无量纲微分方程得到的温度场的解为 8-0(u Fo,Bi,G) (1-37) 显而易见，无量纲温度场的解中，变量数目大为减少了 毕蓬数及傅里叶数是热传导中常用的两个无量纲参数，只要将傅里叶数改写成如下形式 就能很好理解其物瑾意义： Fo-器-c·A λ·A/L (1-38) 上式中，A是平板面积。式中分子表示温度差为1℃时平板的导热量，分母表示单位时间 内温度升高1℃平板存贮的热量。由此可见，傅里叶数是给定体积之内导热速率与热存贮速率 之比的度量。傅里叶数愈大，在一定时间内热量向物体内部的穿透越深， 若将毕違数改写成如下形式，它的物理意义很好理解 --份-哥毅量 (1-39) 毕渥数是导热热阻与对流热阻之比.华違数可以用来建立一种准则，用它来判断物体内的温度 分布是否可以看作均匀的。卫足够大时，物体边界温度可近似看作等于介质温度 1.6导热正问题和导热反问题 在已知导热微分方程及单值性条件下，求解物体内的温度场，进而求得热流密度及换热 量，这类问题为导热正问题。通常所说的求解导热问题指的就是导热正问题，本书研究的也是 ·12
这一举间题， 然而在实际应用中还有另一类导热问题，这类问题是在已知导热微分方程及部分单值性 条件，用已知温度场的足够信息，求另一部分未知的单值性条件，这类问题称为导热反问题，通 过试验测定材料的热物性（如导热系数，热扩撒系数），由试验测定对流换热系数等，是比较简 单的导热反间题，前者是用巴知温度场的信息及热流密度推算导热系数或热扩散系数（物理条 件)，后者是用测定的温度场的信息推算对流换热系数（边界条件），由于这类问题较简单，没有 专门列为导热反问题来进行研究。 一般来说，导热反问颗的求解比正问顺闲难得多。只要回忆一下非常然悉的微积分运算 作为微分逆运算的积分，比微分困难得多 导热反问题，也有稳态和非稳态之分， 这里举一个非稳态导热反问题的例子，图1,4所示的定物性、无内热源大平板内的一维非 稳态导热，平板厚L,初始条件为均匀温度4，平板 的左壁面绝热，已测定平板中b处温度变化规律， 欲求右边界处壁面温度及热流唐度 这个问愿的数学描述为 是是=要0<L 是=0x=0 t=f(r)z=b =4=0 图14平板导热反同 这是一个导热反问题，因为这里是用平板内b处的温度信息，推算x=L边界处的温度及 热流密度。这个例子有其广泛的实用背景，因为有时表面温度无法（或不允许）直接测定，而要 用离开壁面某处的温度信息推算表面温度。炮弹发射时，炮筒内表面温度无法直接测量，只能 测量简体内某处的泡度，用它来推算内表面温度 有些何题初看起来很简单，误认为是导热正问题，其实不然，是导热反问题。如上例中 b=0,即已知 =·处的温度及温度梯度，求温度场，这就是一个导热反问题。如果我们注意图 1.4所示的导热反间题，可以把平板分为两个部分，0≤x≤b,及b<x≤L,在0≤x≤b的那 部分的温度杨和导热正问题完全一样，而x>b的那一部分是在已知x=b处的温度及温度梯 度时（由x≤b内导热正问题解得）进行求解的。由此可知，已知同一边界处的温度及温度梯度 的导热问题是导热反问题。 导热反问题不一定有解，上述例子中，如果已知x=0处/ax=0,且此处温度随时间线性 变化，在此条件下的解是不存在的。 导热反问题中，有许多问题尚待研究，有关文献不多，作为入门，读者可参阅[9]。 1.7导热问题的求解方法 导热微分方程和单值性条件提供了导热问题的完整的数学模型，用适当的方法求解，就能 得到物体内的温度场，进而确定出相应的热流密度场。 13
求解导热问题的方法很多，而且有不同的归类方法，本书按[8]中的分类法，求解方法分为 分析解法、近似分析解法，数值解法、模拟法（比拟法）及图解法。下面对几种主要求解方法作简 要的介绍。 1.7.1分析解法 此法以数学分析为基础求解导热间题，所得解析函数形式的解称为分析解，或称理论解 严格解。它代表了求解区域内的温度分布，并在所有内点上精确地满足导热微分方程，又满足 定解条件，故又称精确分析解。分析解法的种类很多，常用的有直接积分法，分离变量法、拉普 拉斯变换法及热源法等[8]. 1。分离变量法 将包含有”个自变量的导热偏微分方程分离成”个常微分方程，并在分离过程中引进 n一1个分离常数。求解此”个常微分方程，得到n个解即分高解、然后根据线性叠加原理，用 全部分离解构成原导热问题的完全解，最后，确定出叠加过程中引入的未知系数，得到问题的 最终解，分离变量法只能直接用于线性齐次问题，它是求解导热问题的一种经典方法。线性 齐次问题，可以通过适当变换，由几个解叠加而得。 2，拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是积分变换法的一种，在处理非稳态寻热时，采用拉普拉斯变换去掉温度 对时间的偏导数，原温度函数经过拉普拉斯变换后得到象函数，偏微分方程变为象函数的稳态 问题。然后，在拉普拉斯变换后的边界条件下求解象函数方程，得到象函数的解。 最后将象函 数进行拉普拉斯反变换，得到非稳态温度场的解。因为用拉普拉斯变换法求解导热问题时，需 对边界条件进行变换，又要对象函数进行反变换，这些变换最好利用现成的拉普拉斯变换表。 当变换表上查不到时，就要进行较复杂的积分运算，求解十分困难 除了拉普拉斯这种形式的积分变换外，还有一种旨在去掉温度对空间变量偏导数的积 分变换。由于受篇幅的限制，本书只介绍拉普拉斯变换法，其他积分变换，读者可参 阅「61. 3.热源法 从物理意义上讲，物体中的温度场是由某种形式热源作用造成的，这种热源可以是实际存 在的，也可以是虚拟的。不同类型热源的空间分布和在时间上的作用方式不同，在物体中将子 起不同的温度场。一定类型热源在无限大介质中所产生的温度场称为热源函数，或称无限区域 的格林(Green)函数。在数学上，热源函数是针对点热源而定义的，在本书中将把这一术语扩 大到线热源和面热源。以基本类型的热源函数为基础而求解导热问题的方法称为热源法。在 本书第四套将对热源法进行慎要的讨伦。 1.7.2近似分析法 分析解法仅适用于求解平板、矩形柱体，圆柱、圆管及球体等几何形状简单的物体中的线 性导热向题。只有极少数简单的非线性问题可用分析方法求解。对几何形状复杂或非线性的 导热问题，采用分析法求解是不可能的，因而提出了近似分析解法。近似分析解法得到的仍然 是解析函数的形式，但它只近似代表物体内的温度分布，它只满足主要的定解条件。常用的近 似分析解法有积分法、变分法、加权残值法及摄动法等)。限于篇幅，本书第五章仅对积分法 14
进行讨论。 1.7.3数值解法 数值解法的理论基础是离散数学，其基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为 节点)上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程及边界条件推导出 各节点温度间相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值 此即物体中温度场的解。只要节点分布得足够稠密，数值解就有足够的精度。求解导热问题的 数值方法有有限差分法及有限元法1)，近年来又发展了边界元法)和有限分析法)，数值 方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状多么复杂，不管是线性或非线性问题，都 能使用。由于计算机的飞速发展，计算技术（软件）发展也很快，数值方法的地位越来越重要，因 此许多学校已单独设课，本书中不讨论这方面的问题。 1.7.4实验模拟法与图解法 这两种方法早期都用于求解导热问题。实验模拟法是利用描写不同物理现象之间的类似 性，例如描写电场的方程与描写温度场的方程的类似性，通过实验测定电场分布，然后按一定 关系推算出温度场，这称为热电比拟，当然还有其他模拟法.图解法利用理论推导得出的一些 规律，通过作图求解温度场，随着数值方法的发展，这两种方法的应用范围大大缩小，本书中不 再论述 数值方法和分析方法是目前求解导热问题的主要方法。就求解问题的覆盖面而言，分析法 是无法与数值法竞争的。用分析法求解的问题，数值法也能求解；而用分析法不能求解的问 题，数值法一样能求解，就计算温度场的精确度而言，初看起来似乎数值解是近似解，分析解是 精确解，其实，对 一个实际的导热问题来说，精确解并不一定精确，因为它要对单值性条件作 近似处理（如导热系数取常量，对流换热系数用平均值等等），而这些处理对数值法并不是必需 的一般情况下，精确解的结果是级数解，计算时只能取有限项，会产生一定误差 。但是，精碗 分析解的整个求解过程的物理概念与逻辑推理都比较清晰，求解过程所依据的数学基础比较 严密。以函数形式表示的解准确可靠，能清楚显示单值性条件中各种因素对温度分布的影响。 如果单值性条件是精确的，精确分析解的结果是精确的，其结果可以用来检验数值解结果的 确程度，另 方面，诸如边界元法及有限分析法等新的数值方法，是以精确分析解为基础的，所 以不管数值法如何发展，分析法仍然是求解导热问题的主要方法之一。 从学习的角度来看，在学习了传热学的基础上，深入学习导热的专门知识，掌握求解导热 问题的各种数学方法，既能系统而深入地领会导热理论，又增强了分析和解决实际导热问题的 能力，这对于研究生的培养是完全必要的。有鉴于此，把分析法和数值法分两门课进行讨论是 有益的。本书的重点为阑明求解导热问题的各种分析解法。 习题 1.1由正交坐标系的导热微分方程，写出圆柱坐标系及球坐标系中的导热微分方程。 1.2图1.5示出了一个轴对称形状物体中的稳态导热，材料为常物性，物体中无内热源」 试述在什么条件下，可简化为一维导热问题。如能简化成一维问题处理，试在x坐标图上定 ·15·