27 与应力张量桕似,我们可以求出只有正应变分量而没有 剪应变分量的主应变e1、e2、e3。以主应变方向为坐标轴时 称为形变主轴。求主应变时,导出一个3次方程 e-I21e2+Ieze-Ie3=0 (133) 其中e=e11+e22+e3 1e2=ee2+e2233+es81-c32-c2。-e3 Ie3=211822833*+2e12823831-elteia-ezze-e3sei 2 1.34 分别称为应变张量的第一、第二、第三不变量。其中Ie表示 了体积变形。 同样可以求得八面体正应变与八面体剪应变 811+222+233Iel oet (1.35a) 3 2 (e-e)2+(e2-e3)2+(ey-e1)2 (1.35b) 此外,应变偏张量的3个不变量分别为 JIe=e1+e22te33=0 J2e=x [(ei-eaa)2+(e22-e93)2+(esa-eu)2) 十e12+e】,+e3 (1.36) =e1ee+2e12e2e3-ee2-e2:1-e3e12 1.4.5应变率张量 混凝土材料在受外力作用下,由于其有流变性,即在外 力不变的情况下,各应变分量也将随时间而变化。各应变分 量随时间的变化率就称为应变速率分量。我们用字母上加 一点表示该量对时间的导数,即
·28 dt (1.37) 当坐标变换时,从应变张量的变换公式对时间t求导可 得到应变速率的转换公式,由此可知,应变速率张量也是 个对称的2阶张量 1.4弹性、塑性与粘性 1.4.1弹性 1.单向受力状态下的弹性关系 般物体在外力作用下会产生变状,若在外力消失以 后,物体能够恢复原来形状,这种性质称为弹性。若外力与 变形成线性关系,则这种弹性又称为线弹性。对于各向同性 的均匀的完全弹性体,应力应变关系的线性关系中的几个弹 性常数可以通过实验测定。 单独受拉杆件如图1—8(a),测得纵向应力为a,纵 (b) 向应变为ex横向应变为ey和ex,对线性弹体应力与应变
29 成正比,即 ea 或 E (1.38) 其中E—弹性模量; —泊桑比(横向变形系数)。 由弹性体单纯剪切试验(如图1—8(b)),可知剪应力 rxy与剪应变?xy=2e成正比,比例常数称为剪切模量,常用 G表示,即 xx=Gxy或ysy=xx (1.39) 对于各向同性弹性体,3个弹性常数是有关系的,理论 研究和实验测定均证实了它们具有下列关系 E 2(1+g) (1.40) 2.复杂受力状态下的弹性关系 如果一线弹性体不仅单纯受拉(压)或受剪,在{ax σy,a,zxy,ryx,τ}作用下,则由叠加原理把各应力单 独作用下的应变叠加起来,便可得复杂应力作用下的应变, 即 FLcx-u(o,+o,) E oyu(a+ox (1.41) (or+a,)
30 G 若需要由应变求应力,则可由上述6个式子解出应力向 量,并写出矩阵形式,即 o)=(D[e〕 我们称〔D〕为弹性矩阵,具体表达式为 D]= E(1-p) (1+)(1-21) 0 0 2(1-1) 对称 27 2 212 (1.42) 有些学者用另外两个常数
31 入 E G (143) (1+p)(1-2) 2(1+4) 其中λ称为拉梅系数,G是剪切弹性模量。这样,弹性矩阵 又可表示为 λ+2G 入+2G 0 0 入+2G0 D]= 对称 1.44) 我们将式1.41中的前三式相加,可得 x+ay+σ ∠V=8x+ey (1.45) BE. E 式中 E E=3(1-24) (146) 我们称∠为体积应变,m为平均应力,E为体积弹性 模量。上式表示体积应变与平均应力成正比。 若将应力张量分解为球应力张量与应力偏张量,应变张 量分解为球应变张量与应变偏张量,则球应力张量与球应变 张量,应力偏张量与应变偏张量分别成正比,并有 00 oR 0 3E (1.47 00 00e 和