32 2 2G Tzy zy2G一U (1.48) 3.平面应力或平面应变状态下的弹性关系 在实际应用中,有许多问题可以化简为平面问题,这样 可以简化公式,减少计算工作量。平面问题可以分成两大 类 (1)平面应力问题 若有一很薄的等厚板,只有在平行于板平面内受有外 力,并且外力沿厚度方向分布均匀,如图1—9(a)。设板 (By 图1一9 厚为t,以垂直于中面的法线为z轴,原点取在板之中点,于 是在板表面即z=±士处有σ=0,tx2=0,r,=0。由于板 很薄,我们可以认为在板内各点均有 0x=0, txy=ty==0, Tx=tx=0
33 这样,只剩下3个应力分量,即ax、,和r。应力应变关系 可简化为 0 E 0 (1.49) 00 2 (2)平面应变问题 设有一很长的柱体,各截面形状相同,大小相等,只受 有平行于横截面的力,且这些力不随长度方向而变化。如图 1—9(b)。设截面方向为z轴,长度为无限长,则所有 切应力分量均不沿z方向变化,它们都为x、y的函数。这时 沿z方向不可能有位移,即=0,也即有ex=0,所以通常 称为平面应变问题。由对称条件可知,这种情况下r=ry 0,进而由剪应力互等性可以推知rn=xyx=0。于是平面 应变问题的应力应变关系可简化为 E 1+2) 5 2a) 0 2(1-4) (1.50) 与平面应力的公式对比可知,只要把平面应力问题中的E改 换为1,改换为_一,则平国应力的公式就化为平 E 面应变问题的公式了。在平面应变问题中,σx一般不等于 0,但是它可由o和y求得
1.4.2性 固体材料产生不可恢复的变形称为塑性变形,这种性能 称为塑性。图1-10(a)是低碳钢受拉杆件的应力应变曲线 6 图-10 由实验可知,该曲线基本上可以分为4个阶段,OA为弹性阶 段,AB为塑性阶段,BC为强化阶段,CD为破坏阶段。A点 的应力σ称为屈服应力或屈服极限,也称流动极限。材料超 过屈服极限以后,在应力不变的情况下,应变继续增长,称 为理想塑性。若在荷载增长情況下才继续产生塑性与弹性变 形,称为硬化塑性。在实际结构中,通常不允许应力达到屈 服极限。为了数学运算的方便,常简化为理想弹塑性材料, 如图1—10(b)。对混凝土来说,没有像软钢那样的明显的 屈服极限,因而有的学者采用硬化弹塑性模型,也有的采用 理想弹塑性模型 推广到一般应力状态,应用塑性理论要有以下几个基本 假定: (1)在应力空间定义一个屈服面,当应力状态达到屈 服面时,材料进入塑性状态。关于屈服条件,一般可用屈服 面方程表示为 F(r,k)=0 (151)
35 式中表示应力函数,h表示硬化函数。 (2)材料进入屈服状态以后,应变增量可以分为两部 分:弹性应变增量与塑性应变增量,即 ε}=d{e}d{e (152a) 其中弹性应变增量与应力成正比,郎 d〔a〕=〔D)d〔 (152b) 式中〔D)为弹性矩阵。 (3)材料中产生的塑性增量不是唯一确定的。对应于 同一应力增量,可以有不同的应变增量,其值取决于加载的 历史。通常假定塑性变形的方向与屈服面正交,这一假定规 定了塑性变形的流动方向,因而又称正交流动法则。用数学 公式表示,可得 d〔e)p=λ aF 0〔o〕 其中λ为待定常数。 (4)若材料处于塑性变形状态,在加载和卸载时,应 力和应变之间服从不同的规律。通常假定卸载时是弹性的。 现在根据上述假定来推导塑性变形状态下的应力应变关 系 由假定(2) 〔D〕-da〕+λ OF 由全徵分法则可知 dFs dF da1十 aF da2+…十 dF dc2 kDr=0 简写为矩阵形式 F H/A=0
36· 式中 F dK λ (d) 将 F 〔D〕乘a式两边,并利用b式消去d[a〕项 可得 dF d [o (d) dCe)=Hx+LoF TtD) dF 于是可得 F D 入 尸) tnr of d〔e D〕 d〔a〕 再用〔D〕前乘式两边,并移项后可得 da)=〔D)d[e-〔D〕 。- 将e式代入∫式可得 DT dF AF 〔D da]=〔D H计|oF下7 a〔aCD|oF d〔e]〕 a〕 (1.53) 取 〔D:k F [DEp=[DI O〔a o」CD D〕 drD (154)