22 4。,k 图17 PA=dx,PB=dy,变形后变到PA,PB′首先求出线段 PA的正应变e11P点在x1方向的位移为u2,A点在x方向的 位移为n+。dx,于是PA线段的正应变 0x1 41+ ow-dxt)-u: ou 已r1 dx 0x 注意,这里忽略了位移对线段伸长的影响(这是高阶微 量) 同理可得PB的正应变为 d22 E22= dx2 对比式(a)。(b)与方程1,29可知,M,(即)表 o 示了线段沿坐标轴方向的相对伸长,称正应变。 再考虑线段PA与PB之间直角的改变,也即e,由图1-7 可见PA微小的角度改变
23 u2+-ou2 dx dxr d x PB微小的角度改变 t1+ 0141 dx2 dx 44 dx? oxz 于是,PA与PB之间交角(原为直角)的变化(以减小为正) 为 r2=2e2=a+B=nl+0 0x1 与方程129对比可知 ≈t (t,r+u,;) x dxi 而 r子=2 表示了原为直角的线段间的夹角变化,称为剪应变。于是, 方程129中,前3个表示正应变与位移之间的关系,后3个表 示了萌应变与位移的关系这便是在微小变形条件下(忽略了 高阶微量)应变张量各分量的几何意义。 1.3.3坐标转换时应变分量的变化 在某一坐标系x中某一点的6个应变分量为已知当坐标 转动时,这6个分量如何变化呢?设计坐标系为x与原坐标 系各方向的夹角如下表
24 : 3意 在x1方向的应变为 e1,=a′=oun′.。x1+on′.9x2+0n..ox dx 0xt10x20x1′dx dx 因 1l1+u2t2+t3l13 且 dx dx 12 dx dx 于是 E:1 1「32 Ox dx o 1l21+-"z1+ 0143 dx2 +0uL1ul31+duz l2,l31+_0us-42 dx dx3 dx =e1121t+g22+e3331 十2e1:21+2e2sl21l31+2e31l143t 同理可得 22+Ex122+el2 2c12l12l2+2e23l22l22+2e91l1l32 3+22123+e3 十2e1lt3l23+282323l3+231l3l1s 再求角形变 u′oa2 E⊥2 0x2·x
25 -Our. dx1 +ou1 dx x dx d32 dxz+ou dx3 032 Ox: 0x2⊥4 dx: ox10℃ dx2 dx dxs 因 l12+a42l22+u3la2 且 ax x ax3 ox dx 代入上式并整理后可得 eu/=eilul21+e22l12 22 +es3l13133 +e12(l1l22+ll2)+-23(l12123+l2l1 Es1(l1212+l21l2 同理可得 e23!=E2181e2e3323l33 +e12(121la2+l3il22)-+223 (I22133+132123) 十et(l:l2+la1l2 1′=e1ll21+e2l:2l32+e33l13l3 十e2(l1tl23+l3l3)+e2.(l12l43+l2l13) +831(I1133+131lis) 以上式子可统一表示为 emelin 由此可见,新坐标系中的应变分量可出原标系中6个应变分 量求得。与应力张量转换公式对比可知,应力分量 21122y13 [e门 e22 e91E82已23 y31 y32833
26 组成一个2阶对称张量,它在坐标转换时符合张量的转换公 式。注意,应变张量中非对角项必须取剪应变之半,否则 便不符合张量的坐标转换公式。 1.3.4应变张量的不变量 与应力张量相似,应变张量可以分解为应变球张量和应 变偏张量,郎 et1吧t2813 e21 E22 823 0 e13233 811 812 e13 十 E21 22-8 e23 (1.31) 33- 等式右边的第一部分称为应变球张量,可用-d;表示。其 中 Et 22Te·3 3 1.32) 称为平均变形。等式右边第二部分称为应变偏张量,可用符 号e表示。于是,用简洁的符号表示 Surfer 这样,应变可分为两部分:一种应变状态是各方向具有相同 的正应变而剪应变为零,它与弹性的体积改变部分有关; 另一应变状态是正应变为e1-em、-m、e3-n与剪应变 e:2e2和e组成的应变偏张量,其3个正应变之和为0,说明它 没有体积变形,只反映形状改变部分。而一般的应变状态则 同时存在体积改变与形状改变