17 可见,八面体正应力与应力第一不变量,八面体剪应力与应 力偏张量的第二不变量互相关联的。 1.2.5平衡微分方翟 上几节我们研究了一点的应力状态。在这一节里,我们 将研究物体中任一点O与其相邻点应力之间的相互关系,从 而导出固体力学中的平衡微分方程 如图1—5所示,以O为顶点,作边长为dx1,dx2和dx3 dx 1+5 图1-6 的长方体微元。设OBEC面上的应力分量为1、可2、: 则在面ADGF上应力分量变为 dx 十 d12 dxs 0x1 若做体内作用单位体力为f1,则由x方向的平衡条件 (om某odx-on)dxdx2+(0m可2x2 oa)dxadx1+(oau- OU3ldx3-031)dxidx2 十f1dx1dx2dx3=0
化简后可得 001÷012+01+f1=0 dx1 dx2 dx3 同理可得x及x3方向的平衡方程。归纳起来,三个方程为 o1+012+901+f1=0 022 dx o21+0021+02+f2=0 x10x20x3 (1.25) 001+0(2+oa+fs=0 dxdx 0x3 这便是固体力学中3个平衡方程,可简写成 doii+fia (i=1,2,3) ox 或 σ+f=0(i 1。3应变分析 1.3.1一点的应变状态 为了研究一点的应变状态,我们在直角坐标系x中取包 括该点在内的一微线段MN来研究。对于可变形的弹性体在 受到外力以后发生变形,微段 MN变到MN′位置,如图 1-8 变形前M点的坐标为 变形前N点的坐标为x dx1;x2dx2,x8+dx3。 图1 微段MN之长度
19 ds=v(dxi)+(dxa)+(dx?) 变形后M点的坐标为x+、x、x43。(i =1,2,3)表示M点发生的位移在坐标轴方向的分量,同时, N′的位置为x十dx1十a十dn、x+dx2+u2+du、x dx3十+dts,这时线段M′N′之长度为 ds/v(dx+dun)2+(dx2+dur)2+(dxg+dus)2 由变形前后两线段长度之差,可得 (ds′)2-(ds)2=(dn1)2+(dn2)2+(da2)3+2(dtd2 fdu2du3+dudu 设位移是坐标的函数,即 t=f(x1,x2,x3) (i=1,2,3) 由全微分法则 d dx2十 dx3 dus du =2dx1十 dx1 02dx2。x3 dxs du dus dx1十 03_dx3 0 x 013dx2x3 ax2 写成张量形式 d 数=W,i 代入上式可得 (d)2-(d,)=2{2;+2(a)+(ax)2 (a) dx,d 2192+ duz d 2[(a)+( ax
3 dxz ))dxadxa 十2 ais 1「Ou ax 2.(dx3 ax d3dx ax au, d 十 U durz dx Ox dx2 dx OUz+ U3. oU a ldxd xz dx dx :2 oU2oUs⊥oU Ut, du 十 dx2032 x dx U2⊥.OUs.oU3 十 3 dx3 +「00:+O+ uI dt u ax1. dx3 OU2⊥oU3.o3. dad x dx 1 Axt 我们取符号 (t,+,+ (126) 则上式可简写为 1,2,3 (ds )-(ds)2=2ed xid: 1.27 j=1,2,3 这里我们定义e为拉格朗日( Lagrange)应变张量。如果我 们取变形后的MN的坐标为参考点,即
21 M′的坐标为x、x2、x N的坐标为x+dx1、x十dx2、x}dx35 变形前M的坐标为x-、x2-t2、x8-3 N′的坐标为x-n1+dx1-dt:,x-#2+dx da2、x一+d dual 则可用同样的方法推得 (d (ds)=2Ei,dxdx 其中 E (1.28) 称为欧拉(Euer)应变张量。 不论拉格朗日应变张量还是欧拉应变张量都不包括刚体 位移。当物体产生刚体运动时,MN=MN′,必有e;=0 或E=0 当变形微小,可以忽略2阶黴量时,拉格朗日应变张量 与欧拉应变张量表达式便一致了。 1 due E39 0x2 ox3 1/d dx1 2\ dx3d 十 dx (1.29) 可见在小形变情况下应变与位移成线性关系。在我们研究的 问题中,大部分属于小变形的情况。以上6个式子表示了位 移与应变的关系,称为几何方程。 1.3.2小形变应变分量的几何意义 在乎面x1Ox2坐标系中,过P点作互相垂直的二直线微段