12 第一、第二和第三不变量 通常把第一不变量的1/3称为平均应力,记作σm即 (1+o2+a3) (1.12) 从一点的应力张量中减去以平均应力为静水压力的部 分,称为应力偏张量,记作s,即应力偏张量的各分量可按 下式计算 Srf (1.13) 或 G· g12 11 22 这样,一点的应力状态可以分为两部分之和,即 00 SI1 512 SI a)=0a0 2rS2223 (1.14) S32S32S33 第一部分称为应力球张量,它是均匀应力状态,其主应力相 等,均等于平均应力。第二部分称为应力偏张量。显而易见 应力偏张量也是对称的2阶张量,其主应力偏量方向与主应 力方向一致,大小为 (=1,2,3) (1.15) 所以只要求得平均应力与应力偏张量的主值即可求出主应 力。为此,先求主应力偏量。类似地有方程 展开后可得下列关于s的3次方程 J1s2-J2S-J3=0. (1.16)
1 J1=s1:+s22+s33=0 s11 S22S23 S33S31 S32S33 S13S11 s.22-s223-s33s1+s212+s223十s2sJ (I.17) s11S12s13 J3=21s22s23 S31 532 s s1s225s3+225233-s11s223-522521-833s2t2 ∫1、/2、J3分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变量。 由于第一应力偏张量不变量J1=0,所以求应力偏张量的3个 主值要方便一些。 利用x=s↓G=+z代入1.6式可得 2_I1I +I3)=0 27 对比可知 21-12+ (1.18) 可见应力张量的不变量与应力偏张量的不变量是密切相关 的。 虽然求主应力偏量要比求主应力稍方便一些,但还是要 解一个三次方程。这里介绍一个用等代三角方程求主应力的 方法。 令 s=rcos i.19 代入式116中,可以代为一个三角方程
14 cos e-J2cos0- 3=0 (1,20) 若取 (121a) cost 也即 4J2 (I.21b) cos3=4=3√3J 2J23 则方程1.16得到满足,即等于解出了方程。把J2、J3代入式 1.15求出r、cos30,然后由 rc cos 并求得 s=rose 注意,由cos30求θ时,在0~2m范围内有3个值满足要求,正 好可以求出3个主值,相当于3次方程的3个根。进而可以求 出主应力 02 十σ 1
15 cose cos(e Iii1 1.22) cos(a+=3) 1.2.4八面体正应力与剪应力 设物体内某点的主应力方向及大小均为已知,通过该点 作一特殊斜面,使斜面的法线与3个主方向具有相等的夹角, 称为等倾面。显然若以主方向为坐标轴,则等倾面法线的3 个方向余弦相等,即11=12=l13= 在空间共有8个这 样的等倾面,它们组成一个八面体,见图1—4(a)。这个 斜面上的正应力和剪应力便称为八面体正应力和八面体剪应 力在塑性力学中起重要的作用。现在我们推导八面体正应力 与八体剪应力τer的计算公式 如图1-4(b)所示,取出一微四面体,ABC为等倾 面。设等倾面的面积为1,则由等倾面所截出的3个坐标面面积
16 △AOB=△AOC=△BOC=1 3√3°,作用在 △AOB,△BOC,△AOC上的即为主应力σ,2和σ若等 倾预上的总应力分解为主应力轴方向3个应力分量,则由平 衡条件可知 3 3 此3分量在等倾面法线方向上的投影之和即八面体正应力 Mott=Orlf111Or212"F 0r3413 =-1.(0n2+d3 2C9 (123) 八商体上的总应力有 :3+a-2 (a2+a2+a2) 于是八面体剪应力为 (2+a2+o2) (o1+a2+a3) 9 a2-a2)2+(a2-a3)2+( (124)