x G32 x 2 于是 23=32 同样可以求得 21=12 31=13 这就证明了剪应力互等性,所以应力张量是一对称张量 由此可见,如果已知某一点的六个应力分量,这点的应力状 态就可确定。用张量符号表示一点应力状态 111213 o=21σ22o23 其中两下标同号者均为正应力,下标不同号者为剪应力。在 工程应用中经常用σ表示正应力,τ表示剪应力,并取XYZ为 坐标轴,因此一点的应力状态又常表示为 τxyT om= i Tyx ayτyx Tzy O 由于应力张量是对称张量,只有6个分量是独立的因之 又常将一点的应力状态用一列矩阵来表示 或 1 1d2233τ1223τ31 这种表示法在计算力学和编制计算机程序中应用很疒。 1.2.2任意斜面上的应力 若经过某一点的应力分量为已知,则可以求出经过该点
的任一斜面上的应力。 图1-3表示了在O点附近取出的一个微小的正六面体 作任意斜面与六面体的三棱交于A、B、C。今取3个棱边方向 为坐标轴方向x1、x、x。若斜面外法线方向为N,其方向 余弦为 os(N, 1=I 2 s(N, x3)=11 设斜面△ABC的面积为∠S,则由图可知,△OBC、△OAC △OAB的面积分别为ASh1、dSlx2、∠Sl13为了求出斜面 上总应力ar,先求出沿各坐标轴方向上的分量σr1 r2、Gr3 由平衡条件 ∑X1=0 Oras=0ndSI11+o124SI2+o132S113 r1=a11+o2l1+a1313 同理有 Ur2=2111d2212+2313 1:+o32l12+asl 其斜面上的总应力为三个分量的矢量之和 21+2+2 通常我们感兴趣的是垂直于斜面的正应力和剪应力。为此在
斜面上取一点O’,以外法线为坐标轴Ox′,并且在斜面上 取互相垂直的二个坐标轴O′x2′,oxs。新坐标系各轴在原 坐标系Ox1x2x3的方向余弦共有9个,列表如下: x : 在斜面上的正应力 a1211+0212+o9zts n=o,lu+or2l12+orsis +2at2l1l12+2o23I12l13+2o 3141341 在斜面上沿o’x2轴和o′x轴的剪应力分别为 12=a1l2+ar2l22+a3l23 a11l22+o2l2122+ossl1l2s+a12(l41422 +l2l12)+23(l2l2+l2l13) +a18(l13l2+l1123) G13′=a-l31++2l232÷rl33 a4l1l21+o222121aa3l313+o2(l112 +l32l1)+a23(12l12+l1ls2)+as(l31+ltsl1) 同理,以Ox2′为法线,x1Ox作一斜面,再以O′x3作 外法线,xOx2′为斜面,均可求出上述相似的公式,这里 不再一一列出。最后得到新坐标系下的9个应力分量,它均 可由原坐标系中的应力分量求出,并有下列关系 Gm′=or; iimI (1.8) 与前一节所述张量的定义相比较可见,一点应力状态的9个 应力分量构成一个张量。由于剪应力互等性质可知,应力张 量是对称的
10 1.2.3主应力 若经过某一点的某一斜面上的剪应力分量都等于零,则 该斜面上的正应力称为该点的主应力,并用a表示。由于剪 应力分量等于零,所以该斜面上的总应力等于主应力,即r =σ。于是该斜面上的总应力在3个坐标轴方向的分量为 由微体平衡条件 141+t2l12+aul13=ol1t a241+22l12+d213=al12 a3l1+al12+a33l13=al13 写成简洁形式为 移项后,并写成矩阵形式 C12 C13 lilY 21 o22 2 (c33 (19) 由方向余弦的性质可知P1+P12+P13=1,故l、l2、l:3不 会同时为零。所以这组次方程有解的必要条件是其系数行 列式的值等于零。即 11 12 G21 022-O =0 写成简洁形式为
Cij-gOij 展开后得到一个关于的3次方程 a3-I1a2+I-I3=0 (1.10) 其中I1=a11+a2 1E可2 1O13 J21σ22 =1222203oa1-a2:-2-a23(1.11) G⊥!G12;3 I3=o21a2223 3132g3 12O33+2a1g2-0102-a22a23!-a30212 在弹性力学中,已经证明,这个3次方程有3个实根,也即可 以求出3个主应力一般将这3个主应力按次序由大到小排 列,并用符号σ1、σ2、σs表示,称为第一、第二、第三主应 力。第一主应力又称最大主应力,第三主应力又称最小主应 力。求出3个主应力以后,对每一个主应力代回方程1.9,可以 求出主应力作用斜面法线的方向余弦,这组法线组成了一个 正交的坐标系,这主应力坐标轴称为主轴。在主轴坐标系内 应力张量可表示为 0 对于给定的应力状态,其主应力是确定的,即其大小与方向 与坐标轴的选择无关。由此可以推出I、I2、I也必定是与 坐标选择无关的不变量。这3个不变量分别称为应力张量的