同样推广到三维如下 个动能为E和动量为p,即波矢为k=P 的自由粒子,在坐标表象的波函数: Vk(r, t=yo exp(i Et-Pp·F 显然,浪函数对时间求导,可得出: at dVR( Ev(, OI at
( , ) exp( ) 0 Et p r r t i k − = − 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数： p p k = 同样推广到三维如下： ( , ) ( , ) E r t i t r t k k = − 显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出: aVr (F,t);Ovk(7,1)_p ax k(F,1) avr( =P,k(r,t; av(r, t) p 方 2 方2 Vk(r avr(r, t)i az =方P2A(,D,02v(F 方2G, 2 2 0202 2小k yu
波函数对空间求导可得出： ( , ); ( , ) p r t i x r t x k k = ( , ); ( , ) p r t i y r t y k k = ( , ); ( , ) p r t i z r t z k k = ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p x r t k k x = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p y r t k k y = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p z r t k k z = − k k p x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) = − + +
定义算符y2=02+ Ox 0y a 则得:Vv(,)=-12vAG1) 考虑自由粒子的能量:,2 E Vvk(r, t=EV(r, t) 2 2m 又因为 自由粒子的 薛定谔方程 得出::0vk(F,1)h22 VU,Gr at 2m 许多单色平面液线性叠加的态仍是上述方程的解
2 2 2 2 2 2 2 x y z + + 定义算符： = ( , ) ( , ) 2 2 2 r t p r t k k 则得： = − m p E 2 2 = 考虑自由粒子的能量： ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k = − ( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k − = 又因为： 得出： 许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。 自由粒子的 薛定谔方程
量子体系的运动状态由波函数来描述 力学量用力学量算来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值, 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值,则该波函数所描述的状态是该力学量 的本红态 前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了的( VVs(r,t 它应满足的方程,从 at 2 中我们可得到些启示, 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系
量子体系的运动状态由波函数来描述， 力学量用力学量算符来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的本征态。 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系： 前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示
从上式推导可知若有如下对应关系 i一令→E E at at 动量-i in Vk=pyk ax 算符 iV分p -indyk=pvx 动能 算符 定义V +—k Vvr(r, t=Ev(r, t) 2m 2 可得出: 方 Vik(r,t) at 2m
从上式推导可知若有如下对应关系： E t i k E k t i = px x i − k px k x i = − i p − k p k i − = ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k = − 可得出： 动量 算符 k z j y i x ˆ ˆ ˆ + + = 定义( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k − = 动能 算符 2 2 2 ˆ = − m T