()=∑ af(X+aP a(x, +AnP,=vf(r+aP)'P a2 o(k ox,+Ap) FRiar +Ap )a(x +dp)2p=pv/(+/P)P 定理1设∫:R"→R具有二阶连续偏导数,则 f(X+P)=f()V()'P+-PV2(X)P (19) 其中=X+P,0<0<1(X在X和X+P的连线上) 证:设o(4)=f(X+AP),按一元函数的 Taylor展开式把o(4)在λ=0展开,并注意(17)(18)式得 9(4)=9(0)+'(0)元+g°(4)2,0<6<1 令元=1,即得(19),公式(19)还可写成 f(X +P)=f(X)+v()P+P/(X)P+o(P) (20) 若vf(X)连续,则中值公式成立(考虑∞(1)-9(0)) f(X+P)-f(X)=Vf(X+6P)P,0<6<1 3凸集 定义3集合ScR"称为凸的,如果x,x2∈S总有 ax2+(1-a)x2∈S,0≤a≤1 (21) 这表明,对于凸集中的任意两点,连结这两点的直线段仍位于此集合之内。 设ScR是凸集,称x为凸集S的顶点,如x2,x2∈S及0<a<1,x=ax2+(1-a)x2 则必有x=x1=x2。这表明,集合S的顶点不能位于S中的任何直线段的内部。 例R"中的超平面:H={px=a,x∈R"}是一个凸集,其中非零向量P称为超平面的法向 量,a是实数。由超平面H所决定的闭(开)半空间H={Px2ax∈R (H={xP2x<a,x∈R"})均为凸集。 定理2集合ScR"是凸集的充要条件是:对于任意正整数k≥2,若点x'∈S,=1…,k,则它们 的凸组合 λ1x2+…+λx∈S (22) 其中,A1≥0, 15
157 p f X P P x p f X P T n i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = + + + = = P P P f X P P x p x p f X P p x p f X P d d T j i n i n j j j i i n i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ 2 1 1 2 1 = + + + + = + + = = = = 定理 1 设 1 f : R R n → 具有二阶连续偏导数，则 f X P f X f X P P f X P T T ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 + = + + （19） 其中 X = X + P,0 1 （ X 在 X 和 X+P 的连线上） 证：设 () = f (X + P) ，按一元函数的 Taylor 展开式把 () 在 = 0 展开，并注意（17）（18）式得 ( ) ,0 1 2 1 ( ) (0) (0) 2 = + + 令 = 1 ，即得（19），公式（19）还可写成 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 f X P f X f X P P f X P o P T T + = + + + (20) 若 f (X ) 连续，则中值公式成立（考虑 (1) −(0) ）: f (X + P) − f (X ) = f (X + P) P,0 1 T 3.凸集 定义 3 集合 n S R 称为凸的，如果 x x S 1 2 , 总有 x + − x S 1 2 (1 ) ，0 1 （21） 这表明，对于凸集中的任意两点，连结这两点的直线段仍位于此集合之内。 设 n S R 是凸集，称 x 为凸集 S 的顶点，如 x x S 1 2 , 及 0 1， 1 2 x =x + (1−)x ， 则必有 1 2 x = x = x 。这表明，集合 S 的顶点不能位于 S 中的任何直线段的内部。 例 n R 中的超平面： T n H = x P x = a, x R 是一个凸集，其中非零向量 P 称为超平面的法向 量， a 是实数。由超平面 H 所决定的闭（开）半空间 T n H = x P x a x R + , （ T n H = x P x a x R − , ）均为凸集。 定理 2 集合 n S R 是凸集的充要条件是：对于任意正整数 k 2 ，若点 x S,i 1, , k, i = 则它们 的凸组合 x x S k ++ k 1 1 （22） 其中， 0, 1 1 = = k i i i
证:充分性显然(只需取k=2)。现证必要性(数学归纳法) k=2时,结论显然成立,假定k=m时,结论成立,令x=∑λ,x, 其中,≥0∑λ=1,不妨设mn≠1,于是上式可写成 x=(1-am4Dy+amx m+l 其中 ,,十 注意 ≥0,i=1, =1,故由归纳假设y∈S,因S为凸集,必有x∈S 证毕 定理3设S1,S2是凸集,则下列集合亦然 (1)S+S2=(=x+yx∈S1,y∈S2} (2) |=x-y,x∈S1,y∈ S (3)S==x∈S,∈R (4)任意多个凸集之交集仍为凸集。(证明留给读者) 设集合ACR",包含A的最小凸集被称为A的凸包,记作cOmA。由定理3之(4)可知,A 的凸包就是所有包含A的凸集之交。由定理2,A的凸包是A的一切凸组合的集合。换言之 x∈cOm当且仅当x=∑1x2,∑1=1,λ20,x∈Ai=1…k。进一步还有以下定理 定理4设集合AcR",则cO4中的每一点可用A中至多n+1个点的凸组合来表示。 证:假设 xE comA,x=∑ax,∑a,=1a1>0,x∈A ,如果m>n+1,只 须证明x也可以用m-1个点的凸组合表示。事实上,因m-1>n,故存在不全为零的实数 使c1(x2-x") 令Cn=-( +cm-1),则c1x+…+cmxm=0,c1+…+Cn=0。选取正数E,使得 an+B≥0,i=1…,m且a+BCb=0,1≤≤m 则有 158
158 证： 充分性显然（只需取 k = 2 ）。现证必要性（数学归纳法）。 k = 2 时，结论显然成立，假定 k = m 时，结论成立，令 + = = 1 1 m i i i x x ， 其中， o, i 1 1 1 = + = m i i ，不妨设 m+1 1 ，于是上式可写成 1 1 1 (1 ) + = − + + + m m m x y x ， 其中 + + − = + 1 1 1 1 y x m m m m x 1− +1 。 注意 0 1 1 − m+ i ，i = 1, ,m，= + = − m i m i 1 1 1 1 ，故由归纳假设 y S ，因 S 为凸集，必有 xS ， 证毕。 定理 3 设 1 2 S ,S 是凸集，则下列集合亦然： （1） S1 + S2 = z z = x + y, xS1 , y S2 （2） S1 − S2 = z z = x − y, xS1 , y S2 （3） 1 1 1 S = z z = x, x S , R （4）任意多个凸集之交集仍为凸集。（证明留给读者） 设集合 n A R ，包含 A 的最小凸集被称为 A 的凸包，记作 convA 。由定理 3 之（4）可知， A 的凸包就是所有包含 A 的凸集之交。由定理 2， A 的凸包是 A 的一切凸组合的集合。换言之， xconvA 当且仅当 , 1 = = k i i i x x 1, 1 = = k i i 0, x A, i i i = 1, , k 。进一步还有以下定理： 定理 4 设集合 n A R ，则 convA 中的每一点可用 A 中至多 n +1 个点的凸组合来表示。 证： 假设 xconvA， , 1 = = m i i i x x 1, 1 = = m i i 0, x A, i i i = 1, ,m ，如果 m n +1 ，只 须证明 x 也可以用 m−1 个点的凸组合表示。事实上，因 m−1 n ，故存在不全为零的实数 1 1 , , m− c c ，使 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 − + + − = − − m m m m c x x c x x 。 令 ( ) m = − 1 + + m−1 c c c ，则 0 1 1 + + = m m c x c x ，c1 ++ cm = 0 。选取正数 ，使得 + 0, i i c i = 1, ,m, 且 i + c i = 0,1 i 0 m 0 0 ， 则有