复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶格振动_非简谐效应

热膨胀的定量计算 考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r,根 据玻尔兹曼统计,温度时原子的能量分布为 U(r/kRT 那么两个原子之间的平均间距为 re U(r)/kgT U(r)/kBT http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应

http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 11 热膨胀的定量计算 • 考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r，根 据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布为 • 那么两个原子之间的平均间距为 U r kBT e ( )/          e dr re dr r U r k T U r k T B B ( ) / ( ) /

如果用简谐近似0)=1B032=1m(=n 变换r→>+d 因为U是 dF=V+k(6)7 do 的偶函数 ∫e -U(S)/kBT 16 10 e-U(S)/kB dS 70 e do ·这表明,简谐近似下,平均间距不随温度变 化 http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应

http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 12 • 如果用简谐近似  2 0 2 21 21 U(r)     r  r                  e d r e d r U k T U k T B B ( )/ ( )/ 0 0 ( )/ ( )/ 0 r e d r e d U k T U k T B B               • 这表明，简谐近似下，平均间距不随温度变 化 变换r  r0  • 因为U是δ 的偶函数

如果用非简谐近似,就是加上三次项 1d3 U/()=fδ2-ga g (+δe U()/k do -US/kRT e do de U(S)/kgT do e (O/kBT do http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应

http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 13 • 如果用非简谐近似，就是加上三次项 2 3 U(r)  f  g                  e d r e d r U k T U k T B B ( )/ ( )/ 0                e d e d r U k T U k T B B ( )/ ( )/ 0 g dr d U f dr d U   0 3 3 0 2 2 61 21 ;

次项展开,只保留一项 f62gδ U(6)/kB1=e kpT e 1+ B 分母略去高次项后,可得 f de kb ds Ste kgi ds f ekndδ e kBl ds http:/10.107.0.68/igchel 非简谐效应

http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 14 • 三次项展开，只保留一项         k T g e e e e B k T f k T g k T f U kBT B B B 3 1 2 3 2     ( )/ • 分母略去高次项后，可得                              e d e d k T g e d e d r r k T f k T f B k T f k T f B B B B 2 2 2 2 4 0

于是4八k=+ 其中 B 线膨胀系数为a ro dr 2r B 线膨胀系数直接与非简谐系数有关 如果只计入势能的三次项时,线膨胀系数与温 度无关,否则,还需计入势能的更高次项 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况 很高时,晶体已被融化而不复存在 tp:∥10.107.0.68/ jochen 非简谐效应 15

http://10.107.0.68/~jgche/ 非简谐效应 15 • 线膨胀系数直接与非简谐系数有关 • 如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与温 度无关，否则，还需计入势能的更高次项 • 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况 • 很高时，晶体已被融化而不复存在 2 0 0 2 1    r k dT dr r B • 线膨胀系数为   • 于是得 k T r k T f g r r0 2 B 0 2 B 21 43      0 3 3 0 2 2 dr d U dr d U • 其中     