20」蟹材料分析方法 平面筷中另一平面Ⅱ的方程为 (2-2) 式中，m、m、一与m、有类似的意义。 按照比例关系 0M. OP P 设这个共同的比值为D,则m1=m,D,1=nD,P:=P2D。 将以上各值代入式(2-1)中得 +品+品1片 亦可写成 hX+kY+IZ=D 从上面几个式子可以看出 : 上式说明：k:!是平面镶中所有平面的共同比值，敌可用以表征该平面熊。 为了求得晶面指数，需先求出晶面与三个坐标轴的载距)指用轴单位去量度截距所得 的整倍数而排绝对长度，取其倒数？再化成互质整数比并加上圆括号。一股来说，知道了 晶体点阵中任三点的坐标，就可将之代人方程中，从而求得包含该三点的平面的晶面指数。 低指数的晶面在X射线衍射中具有较大的重要性。这些晶面上的原子密度较大，晶面 间距也较大，如(100)、(110)、(111)、(210)、(310)等。 在同一晶体中，存在着若干组等同晶面，其主要特征为晶面问距相等，晶面上结点分布 相同。这些等同品面构成品面系或晶面族，用符号1h来表示。在立方晶系中，{100 品面族包括(100)、(010)、(001)、(100)、(010)、(001)六个等同品面。 (三)六方晶系的指数 六方品系同样可用三个指数标定其晶面和晶向，即取a1、a、c作为坐标轴，其中a1与 4,轴的夹角为120°，如图24所示。该方法的缺点是不能显示晶体的六次对称及等同晶面关 8 688 20 11 0 图23晶面指数的是出用图 图24六方晶体的晶面与晶向指数
第二章X射线衍射方向鬟L21 系。例如六个柱面是等同的，但在三轴制中，其指数却分别为(100)、(010)、(110) (100)(010)及(110)。其晶向的表示上也存在着同样的缺点，如[100]与[110]实际 上是等同晶向。为克服此缺点可采用四轴制。令a,、a,、a,三轴间交角为120°，此外再选 一与它们垂直的c轴，此时晶面指数用（从）来表示，六个柱面的指数分别为(1010) (0110)、(1100)、(1010)、(0110)和(1100)。这六个晶面便具有明显的等同性并可归人 11100晶面族。 四轴制中的前三个指数只有两个是独立的，它们之间的关系为 =-(h土) 因第三个指数可由前两个指数求得，放有时将它略去而使晶面指数成为(k·)。 采用四轴坐标时，根据巴瑞特(C.S.Bam©t)的建议，晶向指数的确定方法如下：从 原点出发，沿着平行于四个晶轴的方向依次移动，最后到达欲标定的方向上的点。移动时需 选择适当的路线，使沿a,轴移动的距离等于沿a,、a,轴移动距离之和但方向相反。将上述 距离化成最小整数，加上方括号，即为该方向的晶向指数。它用[u]来表示，其中t= -(u+)。具体的做法可参照图2-5。例如，晶轴a:的晶向指数为[2110]，标定时是从原 点出发，沿，轴正向移动2个单位长度，然后沿a,轴负方向移动1个单位长度，最后沿a 轴的反方向移动1个单位长度回到a1轴上的某点，此时4=2，=-1，t=-1,=0,符 合t=-(u+D)的关系。 三轴坐标系的品向系数[UVW]和四轴坐标系的晶向指数[u】之间可按下列关系 互换：U=u-t,V=-t,W=0 u=(2U-),w=(2V-U) 【=-(+),0=W 1i201-[TTo] i2i0-[0101 12i01-1001【1001-f2101ti120]-110 图25六方系品向指数表示方法 三、简单点阵的晶面间距公式 如图26所示，使坐标原点0过面簇()中某一晶面，与之相邻的晶面将交三坐标 轴于A、B、C。过原点作此面的法线ON,其长度即为晶面间距d
22」题材料分析方法 ON与X轴的夹角为a,与Y轴及2轴 的夹角分别是B和y。从图中可以看出 0s0m=0N/0A=d/0A 若X轴上的单位矢量长度为a,则截距 0A可表示为ma,即 cosa d/(ma) 同样，若在Y和Z轴上的单位矢量长度 分别为b和c,则有 CosB =ON/OB d/(nb) c7=8%-是 以上表达式中的m、n、P为晶面在三轴 上的裁距用单位矢量长度量度得的整倍数， 它们与h、1具有倒数关系，故 rcosa =d/(a/h) cosB d/(b/k) 图26正交晶系晶面间距公式的推导 Lcosy d/(e/l). 若品体的三个基本矢量互相垂直，则有关系 cos2a+cos2B+cos2y=1,亦即 d (ah+(6/T+(cD=1 d d[(h/a)2+(k/b)2+(Wc)2]=1 则 d7a+7B+t7元 2-3 这就是正交品系的晶面间距公式。 对于四方品系，因a=b 则 dw-R+k)8+77元 24 对于立方品系，因a=b=c 则 dw = (25 +e+下 六方晶系的晶面间距公式为 1 (2-6) √5(+k+)a+P 第二节布拉格方程 X射线在传播途中，与品体中束缚较紧的电子相遇时，将发生经典散射。晶体由大量原
第二章X射线衍射方向置L23 子组成，每个原子又有多个电子。各电子所产生的经典散射线会相互干涉，使在某些方向被 加强，另一些方向则被削弱。电子散射线干涉的总结果被称为衍射。 可以回顾一个波的干卷的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固 定区域的加强或减弱。如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的必要条件 是：这些波或具有相同的波程（相位），或者其波程差为波长的整数倍（相当于相位差为 2T的整数倍)。 排列在一直线上无穷多的电子称为电子列。早期的研究指出，当X射线照射到电子列 时，散射线相互干涉的结果，只能在某些方向上获得加强。在这些方向上，相邻电子散射线 为同波程或波程差为波长的整数倍。忽路了同原子中各电子散射线的相位差时，原子列对X 射线的散射，其情况当与电子列相同。德国物理学家劳埃在1912年指出：当X射线照射晶 体时，若要在某方向上能获得衍射加强，必须同时满足三个劳埃方程，即在晶体中三个相互 垂直的方向上相邻原子散射线的被程差为被长的整数倍。劳埃方程式从本质上解决了X射 线在品体中的衍射方向问题，但理论比较复杂，在使用上亦欠方便。从实用角度来说，该理 纶有简化的必要 晶体既然可看成由平行的原子面所组成，晶体的衍射线亦当是由原子面的衍射线叠加而 得。这些衍射线会由于相互干涉而大部分被抵消，只其中一些可得到加强。更详细的研究指 出，能够保留下来的那些衍射线，相当于某些网平面的反射线。按照这一观点，晶体对X 射线的衍射可视为晶体中某些原子面对X射线的“反射”。 将衍射看成反射，是导出布拉格方程的基础。这一方程首先由英国的物理学家布拉格在 1912年导出。次年，俄国的结晶学家吴里夫（.B.Bym中）也独立地导出了这一方程。 一、布拉格方程的导出 先考虑同一晶面上的原子的散射线叠加条件。如图27所示，一束平行的单色的X射 线，以日角照射到原子面AM上，如果 入射线在儿，处为同相位，则面上的原 子M,和M的散射线中，处于反射线位 置的MN和M,N,在到达NW,时为同光 程。这说明同一晶面上的原子的散射 线，在原子面的反射线方向上是可以互 相加强的。 X射线不仅可照射到晶体表面，而 且可以照射到晶体内一系列平行的原子 图27布拉格方程的导出 面。如果相邻两个晶面的反射线的相位差为2π的整数倍（或波程差为波长的整数倍），则 所有平行晶面的反射线可一致加强，从而在该方向上获得衍射。入射线M照射到AA品面 后，反射线为MN;另一条平行的人射线L,M,照射到相邻的晶面BB后，反射线为M,N, 这两束X射线到达NN,处的波程差为 8=PM2 QM, 如果品面间距为d,则从图2-7可以看出 8=dsine+dsine =2dsing
24|材料分析方法 如果散射（入射）X射线的波长为，则在这个方向上散射线互相加强的条件为 2dsine =n (2-7) 式(27)就是著名的布拉格方程 还可以证明，X射线束L,M,在照射品面A4后，反射线到达N,点；同一线束照射到相 邻晶面BB后，反射线到达N2点。在N,、N,处，两束反射X射线的被程差亦为2dsin0。这 样，我们已经证明，当一束单色且平行的X射线照射到品体时，同一晶面上的原子的散射 线在晶面反射方向上是同相位的，因而可以叠加；不同品面的反射线若要加强，必要的条件 是相邻晶面反射线的波程差为波长的整数倍。 式(2-7)中的是人射线（或反射线）与晶面的夹角，称为揽射角或布拉格角。人射 线与衍射线之间的夹角为2日，称为衍射角，n为整数，称为反射的级数。 二、布拉格方程的讨论 将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。但衍射是本质，反射仅是为了使用方便的描述 方式。X射线的面反射与可见光的宽面反射亦有所不同。能面可以任意角度反射可见光， 但X射线只有在满足布拉格方程的日角上才能发生反射，因此，这种反射亦称选择反射。一 布拉格方程在解决衍射方向时是极其简单而明确的。波长为入的入，以日角投射到 晶体中间距为d的晶面时，有可能在晶面的反射方向上产生反射（衍射）线，其条件为相 邻晶面的反射线的波程差为波长的整数倍。下面我们将会看到，布拉格并程只是获弭衍射的 必要条件而非充分条件。 布拉格方程联系子晶面问距d、掠射鱼2、反射级数n和X射线被长入四个量。当知道 了其中三个量就可通过公式求出其余一个量。必须强调的是，在不同场合下，某个量可能表 现为常量或变量，故需仔细分析。布拉格方程是衍射中最基本最重要的方程，读者必须通过 下面的讨论对该方程有较为深刻的认识。 (一)反射级数 反射线 式(27)中的n称为反射级数。由相 邻两个平行晶面反射出的X射线束，其波程 差用波长去量度所得的整份数在数值上就等 于。在使用布拉格方程时，并不直接赋予 m以1、2、3等数值，而是采用另一种方式。 参照图2-8，假设X射线照射到晶体的 (100)面，而且刚好能发生二级反射，则相 应的布拉格方程为 2d1osin0=2入 (2-8) 图28反射级数的讨论用图 设想在每两个(100)晶面中间均插入 一个原子分布与之完全相同的面，此时面簇中最近原点的晶面在X轴上裁距已变为1/2，故 面簇的指数可写作(200)。又因面间距已减为原先的一半，相邻晶面反射线的波程差便只 有一个波长，此种情况相当于(200)晶面发生了一级反射，其相应的布拉格方程为 2d2msin8=入 上式又可写作 2(dion/2)sin0 =A (2-9)