拓扑空间(X,T)称为拓扑空间 (X,T),…,(Xn,Tn)的拓扑)积空间. 定理3.2.3设X=X1×…×X,是n≥1 个度量空间X,X2,…,Xn的度量积空间。 则将X和诸X,都考虑作为拓扑空间 时，X是X,X2,…,X,的（拓扑）积 空间. 特别地，Rn是n个R的（拓扑）积空间
拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n
定理3.2.4设X=X,×…×X,n是n≥1 个拓扑空间X,X2,…,X,的积空间， 对每一个i=1,2,…,n,拓扑空间X 有一个基B,.则X的子集族 B={B×…×BB∈B,i=1,…, 是拓扑空间X的一个基
定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X = 1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n = n i i
证明：设T,是X的拓扑，i=1,2,…,n B是X的积拓扑的定义中的那个基，下 面只需证明B中的每一个元素均可以 表示为B中某些元素的并， 设U1×…×Um∈B,其中U,∈T 由于B,是T,的一个基，故对于每一 个i,存在D,CB,使得U,=UBD,B
证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1 n B Ui i T Bi Ti D B i i U B i i = Bi i D