6 第二章单纯形法 在单纯形表中，枢运算直接利用矩阵的初等变换进行计算，而检验数的计算可以直 接用公式(11)和(1.12)计算，也可以把检验数行与约束条件同等对待，直接进行初等 变换将检验数行中基变量对应的检验数变为0（新基本可行解对应的典式的目标函数中决 策变量的系数)，则G一与行中的数即为各变量对应的检验数 典式中有关系数的经济解释 取非基变量xm+k,k≥1，令xm+k=1,其它非基变量仍然为0，由典式可直接得到： （x1=以-m+ 2=-dm+ 工m=in-dn,m+h 而目标函数的取值为 2=20+(cm+k-2m+) 可见典式中非基变量xm+k的系数m+k为增加1单位的工m+k后使得第i行的基变量 减少的数量，而检验数cm+k一2m k则为增加一单位的工m+k后目标函数的变化量.从 经济的角度看，为了从事第m+k项活动1单位，需要消耗一套资源，因此需要减少当前 活动的数量以获得这一套资源，am+k就是为了获得从事第m+k项活动的一套资源而 减少的第i行的基变量对应的活动的数量.i项活动的数量：减少 对相妮函数的院献将损尖6因比为了获得从事小十大现活动止检修珠衫 套资源，目标函数将损失的数量（在经济上称为活动m+的机会费用为 cdt=Gm以t=Carp=ah 可见式(1.11)中名值的经济意义就是第)个活动的机会费用.另外从事第m+k项活动 1单位对目标函数的贡献为cm+k,因此从事第m+k项活动1单位而使得目标函数的变 化量为cm+k一2m+k,这就是工m+k的检验数 $2.3单纯形法 单纯形法的基本思路 找到一个基本可行解判断该基本可行解是否为最优解若不是最优解则过渡到另 更优的基本可行解重复上述步骤，直到找到最优解或判断不存在最优解为止 这样我们需要解决三个问题： 1.如何找到第一个基本可行解（称为初始基本可行解）： 2.判定一个基本可行解是否为最优解的判定准则（最优检验准则）月 3.如何在现行基本可行解的基础上得到新的基本可行解 我们以第一章例2的模型为例说明单纯形法的基本步骤。把第一章例2的模型化为
6 ò✡ó✡ôöõ✡÷✡ø❤ù ❋✢❀✢❁✢❂sÐ✺✹✻ïþý✢✒✢✰✢➅sòÓ ✭Û✢Ü✕sÿ✢②✢❝sÞ➢ ➌✢✯✢✰✢ïÓ❡s➨s➩✢Õ✢✕✢✯✢✰✢❳✢ä✢➅ ò✢✭✁sÛ (1.11) ✮ (1.12) ✯✢✰✢ï✖➧✢❳✢ä✢➛s➨s➩✢Õ✢➌✢✿✢❪✢❫❴✢❵ä✢②✢â✁✂✢ï✬➅sò➢ ➌sÿ✢② ❝✁Þ☎✄✁➨✁➩✡Õ✡➌❤✹❥ÿ✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✁➨✁➩✡Õ✡❝✡❉ 0(✆✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏✡â✡✫✡✕✁ç✁Û✡✕ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ❤✹❥❛ ❜✡❝✡❞✡✕✁➄✡Õ)ï✬➓ cj − zj ➌❤✹❥✕✡Õ✁❣✡❉✡③✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✁➨✁➩✡Õ. ç✁Û❤✹❥▼✡ë✁➄✡Õ✡✕✡✇✡①✡❏☎✝: ü✁✡✡ÿ✡❝✡❞ xm+k,k ≥ 1, à xm+k = 1, ✾✁✞✁✡✡ÿ✡❝✡❞✡✳✡✴✡❉ 0, ❽☛ç✁Û✡❳✡➅✁ò✡✼✡♠: x1 = b 0 1 − a 0 1,m+k x2 = b 0 2 − a 0 2,m+k . . . . . . xm = b 0 m − a 0 m,m+k ❡ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡ü✡ý✡❉ z = z0 + (cm+k − zm+k). ❳☎✞✁ç✁Û❤✹☛✡✡ÿ✡❝✡❞ xm+k ✕✁➄✡Õ a 0 i,m+k ❉☎✟✁➱ 1 ❀✁é✡✕ xm+k ➯✡❢✡✼✡❾ i ➌✡✕✡ÿ✡❝✡❞ xi ➘✁➷✡✕✡Õ✡❞, ❡✁➨✁➩✡Õ cm+k − zm+k ➓✡❉☎✟✁➱✡✖✡❀✁é✡✕ xm+k ➯ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡❝✡✶✡❞. ★ ✇✡①✡✕✡✱✡✲☎✠, ❉✡➊✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é, ☞✡✣☎✌☎✍✡✖☎✎☎✏☎✑, ❤þ☞✡✣✁➘✁➷✁➇✠ ✡☎☛✕✡Õ✡❞✡ä☎✒✡✼✡↔✡✖☎✎✁✏☎✑, a 0 i,m+k ▲✡✑✡❉✡➊☎✒✡✼✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛✕✡✖☎✎☎✏☎✑✡❡ ➘✁➷✡✕✡❾ i ➌✡✕✡ÿ✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✡☎☛✕✢Õ✢❞. i Ø☎✡☎☛✕✡Õ✡❞ xi ➘✁➷ a 0 i,m+k ❀✁é, ➏☎✓✡P xi âÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕☎✔☎✕☎✄☎✖✡ñ cia 0 i,m+k , ❤þ❉✡➊☎✒✡✼✡★✡✈ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é☛ ☞✡✕✡✖ ✎☎✏☎✑, ÑÓ➹✡Ô✡Õ☎✄☎✖✡ñ✡✕✡Õ✡❞ (❋✡✇✡①✡❬➱❉✡☎☛ m + k ✕✘✗☎✙☎✚☎✛) ❉ Xm i=1 cia 0 i,m+k = CBP 0 m+k = CBB −1Pm+k = zm+k. ❳☎✞✁Û (1.11) ✹ zj ý✡✕✡✇✡①✡➏✡➐✁▲✡✑✡❾ j ✗ ✡☎☛✕✡◗☎✜☎✢✡✭. ✣☎✤✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é✡âÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕☎✔☎✕✡❉ cm+k, ❤þ★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é✡❡✡❢✡✼ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡❝ ✶✡❞✡❉ cm+k − zm+k, ↔✁▲✡✑ xm+k ✕✁➨✁➩✡Õ. §2.3 ✥✧✦✧★✧✩ ❀✡❁✡❂✡❃✡✕✡ÿ✡➼✁➺✁➻: ➟✡♠✡✖✡✗✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏, ✪☎✫☎✬☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎✲☎✳☎✴☎✵☎✶☎✱; ✷☎✸☎✲☎✵☎✶☎✱☎✹☎✺☎✻☎✼☎✽☎✾ ✿ ✶☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ❁☎❂☎❃☎❄☎❅☎❆, ❇☎✼☎❈☎✼☎✵☎✶☎✱☎❉☎✪☎✫☎✸☎❊☎❋☎✵☎✶☎✱☎✴☎●. ❍☎■☎❏☎❑☎▲☎▼✱☎◆☎❖☎P☎◗☎❘: 1. ❙☎❚☎❈☎✼☎❯☎✾☎P☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ (❱☎✴☎❲☎❳☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱); 2. ✪☎❨☎✾☎P☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎✲☎✳☎✴☎✵☎✶☎✱☎❀☎✪☎❨☎❩☎✹ (✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹); 3. ❙☎❚☎❋☎❪☎✰☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎❀☎✭☎❫☎❃☎❴☎✼☎❵☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ❏☎❑☎❛ ❯☎✾☎❜☎❝ 2 ❀☎❞☎❡☎✴☎❝☎❢❤❣❥✐☎❦☎❧☎♠☎❀☎✭☎✮✁❅☎❆. ♥☎❯☎✾☎❜☎❝ 2 ❀☎❞☎❡☎♦☎✴
$2.3的典式法 标行型： maxz=40x1+45x2+24x3 2红1+3x2+3+z4 =100 31+32+2z +z5=120 (x≥0基一本j. 充要零量所对应亲数列向 基一个关必要由问题，则知立】 可m个变妨系为一变妨只条点问题必若时怡 为一变妨构 充则得一点解 工1 0 为一点解于则是一点可若解.基城极有必即为“≤”规的关必要由问题。在最题为标 行型优定一个城极有必以在顶达到才一个：找变妨.若例找变妨为一变妨，则多情况 得到一寻一点可若解点只时恰x4, 6为一变妨，则得一寻不可若解 1=2=g=0,x4=100,6=120 虽也检验限同题的标行型次为问一点可解基后的但较很为这但后的单性 规思（问题单性规思）： 思2-1 404524 0 0 CB T3 100 2与 C-2 40 45 24 路要调整更样仅够 线上解非行卿 (关必由间题(1.6).(1.7)，若一点可若解X'基后的但的标函少必搜一变 妨的加即典满 C-CBB-1B≤0 则一点可若解X'为限问题的线上解 ②，基泰必雾由向题(1.6,17，若一点可若解X蒸后的但的函少必所式搜 一变妨的加满 CN-CBB-1P≤0 考式-搜一变妨的加少衡和。：一头=0，则限何鄂式相表寻线上解 ③若一点可若解X基后煦但的标函少履一变妨的加少示于零考4茶 后的列向妨P以=B-1P≤0，则问意的解为限界解 证明：().则妨设一点可若解X'的一变妨为1,2，，工m,则基后的但为(1.13
§2.3 ♣☎q☎r❤s 7 t❩☎❡: max z = 40x1 + 45x2 + 24x3 ✉☎✈ 2x1 + 3x2 + x3 +x4 = 100 3x1 + 3x2 + 2x3 +x5 = 120 xj ≥ 0✇☎✾☎① j. ②☎③⑤④☎⑥☎⑦☎⑧☎⑨☎⑩☎❶☎❷☎❸ ✇❹✾❹P❹❺❹❻❹❼❹❽❹◗❹❘, ✸❹❾❹❿❹➀❹➁❹❨ m P❹➂❹➃❹➄❹✴❹✭❹➂❹➃. ❝❹❙❹✮❹◗❹❘➆➅➇✷❹➈❹➉ x1, x3 ✴☎✭☎➂☎➃, ➊ x2 = x4 = x5 = 0, ✹☎❴☎✭☎✮☎✱: x1 = 80, x3 = −60,x2 = x4 = x5 = 0. ➋ ✴☎✭☎✮☎✱, ➌☎✸☎✲☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✇☎➍☎➎☎➏☎➐☎➑☎✴ “≤” ❧☎➒☎❀☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘, ❋☎➓☎♦☎✴t ❩☎❡☎➔☎→☎✾☎P☎➍☎➎☎➏☎➐☎➣☎↔☎↕☎➙☎➛☎➜☎➝☎✾☎P☎➞☎➟☎➂☎➃. ✷☎➠☎➞☎➟☎➂☎➃☎✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎➡☎➢☎➤ ❴☎✼☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✮☎❝☎➈☎➉ x4, x5 ✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎❴☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱: x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 100, x5 = 120 ➦✁➧✁➨✁➩✁➫◗✁❘✁❀t❩✁❡✁➭✁✴✁❲✁❳✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱✁✇✁➯✁❀✁➲✁➒. ➳✁➵✁✴❍✁➸➲✁➒✁✇✁➯✁❀✁✐✁❦ ❧☎➺ (❲☎❳☎✐☎❦☎❧☎➺): ➺ 2–1 cj → 40 45 24 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 100 2 3 1 1 0 0 x5 120 3 3 2 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj − zj 40 45 24 0 0 ➻③⑤➼☎➽☎➾☎➚☎➪☎➶ ✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹: (1). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮➬☎✭✁➂ ➃☎❀☎➱➷ ➑☎✃✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ✹☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱. (2). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮❐☎❒✁➬ ✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ❮ ❒☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈ ck − zk = 0, ✹➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅❥➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎➱➷☎Ñ☎Ò☎Ó❮ xk ✇ ➯☎❀☎Ô❤Õ❥➃ P 0 k = B−1Pk ≤ 0, ✹➫ ◗☎❘☎❀☎✱☎✴☎❰☎Ö☎×☎✱. Ø☎Ù: (1). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13)
8 第二章单纯形法 任取一非基变量xk,令k=9≥0，xk以外的非基变量为0.则得如下解X: x=/-a{.0 =品-2 (2.14) Im =bin -am.ko =0 取0>0充分小，则可使得”，，”≥0，即现行解X”仍然为可行解此可行解对应的 目标函数值为=和+(C-)0.因为ck一<0，所以=0+(一)0<0.可见 X中任一非基变量进入基后，都将使得目标函数值减小，从而现行解为最优解 (②).由最优检验准则知，X'为最优解由()的证明可知，取4=6>0充分小，则 可使得X"仍然为可行解.因为c-=0,所以z”=0+(C一2)8=0.可见存在另 可行解X”与最优解X'有相同的目标值，即x“也是最优解、易证对任意的0≤a≤1 X=aX'+(1-a)X”仍为原问题的最优解，从而原问题有无穷多组最优解. (3.不妨设基本可行解X'的基变量为x1,x2,,xm,则对应的典式为(1.13).令非 基变量x以 0>0,x以外的非基变量为0，则得(1.14.因为(a1k,2, 由式(1.14)知任意xk=0>0,都使得1, 4药防幸花好 对应的目标函数值为2=0+(ck-4)9.因 ,4>0,所以2=20+(c-2)9> ·可见k能无限制的增加而不影响问 题的可行性，目标函数的值也随着(C:一2)9而无限制的增加，因此原问题有无限界解、· 三、基可行解的改进 如果典式的目标函数中非基变量的系数即非基变量的检验数中至少有一个大于零不 妨设非 基变量xk的检验数k-CBB-1P>0,且B1B中至少有一个分量大于零.由最 优检验准则得知，当前的基本可行解还不是最优解，此时需要对基本可行解改进，以便得 到另一个较优的基本可行解 改进基本可行解的方法是在非基变量中选择一个变址让它变为基变量（称为换人变 量)，再从原基变量中选择一个变量（称为换出变量），让它变为非基变量，得到一个新的基 本可行解 1,人量的确定 选择换入变量的基本原则是将变量换入后，得到一组使得目标函数较优的新的基本 可行解由最优检验准则的证明可知，选择检验数满足 c-CBB-1>0,且B-1P至少有一分量大于0 的非基变量xk进入基后，将使得目标函数的值增加.可见当非基变量k的检验数为大于 零的数时，将其换入可使得目标函数的值增加，此时可选择该非基变量为换入变量 一般选择换入变量的原则是选择检验数最大的那个非基变量在用计算机解线性规 划问题时，依次计算每个变量的检验数，第一个使得检验数大于0的那个非基变量就被选 择为换入变量.这样就不必将全部检验数计算出来后再选择最大的检验数，从而减少迭代 时间
8 Ü☎Ý☎Þß♣☎q☎r❤s ❿☎➠☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃ xk, ➊ xk = θ ≥ 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0. ✹☎❴☎❙☎➳☎✱ X00: x 00 1 = b 0 1 − a 0 l,kθ x 00 2 = b 0 2 − a 0 2,kθ . . . . . . x 00 m = b 0 m − a 0 m,kθ x 00 k = θ (2.14) ➠ θ > 0 á☎â☎ã, ✹☎✯☎ä☎❴ x 00 1 , . . . , x 00 m ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱☎✇☎➯☎❀ ➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç☎✴ ck − zk < 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ < z0. ✯☎è X0 ➅❥❿☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎é☎ê☎✭☎➔, ➛☎ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷☎æ☎ìã, í☎î☎❪☎✰☎✱☎✴☎✵☎✶☎✱. (2). ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎ð, X0 ✴☎✵☎✶☎✱. ï (1) ❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➠ xk = θ > 0 á☎â☎ã, ✹ ✯☎ä☎❴ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ç☎✴ ck − zk = 0, ❐ ❛ z 00 = z0 + (ck − zk)θ = z0. ✯☎è☎❊☎❋☎✽ ✾ò✯ò✰ò✱ X00 ó✵ò✶ò✱ X0 ❒òôòõò❀ö➹ tòæ, ➭ X00 ÷✲ò✵ò✶ò✱. ➤òñò✇ò❿ò➀ò❀ 0 ≤ α ≤ 1, X = αX0 + (1 − α)X00 å✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱☎ø⑤í☎î➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13). ➊☎➬ ✭☎➂☎➃ xk = θ > 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0, ✹☎❴ (1.14). ç☎✴ (a1,k, a2,k, . . . , am,k) T ≤ 0, ï❥➒ (1.14) ð☎❿☎➀ xk = θ > 0, ➛☎ä☎❴ x1, . . . , xm ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱ ✇☎➯☎❀➘➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç ✴ ck − zk > 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ > z0. ✯☎è xk ❾☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜☎î☎✸☎û☎ü☎◗ ❘☎❀☎✯☎✰☎❻, ➹ t☎➴☎➷❀æ÷☎ý☎þ (ck − zk)θ î☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜, ç➨☎➫◗☎❘☎❒☎❰☎Ö☎×☎✱. ÿ③⑤⑨☎❶☎❷☎❸✁✁✂✁✄ ❙✆☎ò➲ò➒ò❀ö➹ tò➴ò➷➅➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò➱➷ ➭ò➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò❬ò❭➷ ➅✞✝✆✟ò❒ò✾òPÑòÒòÓ, ✸ Ú☎Û☎➬ ✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ck − CBB−1Pk > 0, ❮ B−1Pk ➅✠✝✁✟☎❒☎✾☎P☎â☎➃Ñ☎Ò☎Ó. ï❥✵ ✶✁❬✁❭✁❩✁✹✁❴✁ð, ✡☞☛✁❀✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✌✁✸✁✲✁✵✁✶✁✱, ➨✁➩▲✁▼✇✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✍✁é, ❛☞✎❴ ✼☎✽☎✾☎P✁✏☎✶☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✍☎é☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎❀☎➣☎♠☎✲☎❋☎➬☎✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃, ✑✁✒☎➂☎✴☎✭☎➂☎➃ (❱☎✴✁✓✁✔✁✕ ✖ ), ✗☎í➫ ✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃ (❱☎✴✘✓✁✙✁✕✖ ), ✑✁✒☎➂☎✴☎➬☎✭☎➂☎➃, ❴☎✼☎✾☎P☎❵☎❀☎✭ ✮☎✯☎✰☎✱. 1. ✓✁✔✁✕✖☎④☎⑥ ➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀✁✭✁✮➫ ✹✁✲✁ë✁➂✁➃☞✚✁ê✁➔, ❴✁✼✁✾✁➥✁ä✁❴ ➹ t✁➴✁➷✏✁✶✁❀✁❵✁❀✁✭✁✮ ✯☎✰☎✱. ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➈☎➉☎❬☎❭➷☎✉☎✈ ck − CBB −1Pk > 0, ❮ B −1Pk✝✁✟☎❒☎✾☎â☎➃Ñ☎Ò 0 ❀☎➬☎✭☎➂☎➃ xk é☎ê☎✭☎➔, ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜. ✯☎è✁✡☎➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ✴Ñ☎Ò Ó ❀➷➩ , ë✁✛✁✚☎ê☎✯☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜, ➨☎➩✯☎➈☎➉☎✬☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ✾☞✜✁➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀➫ ✹✁✲✁➈✁➉✁❬✁❭➷ ✵Ñ ❀☞✢✁P✁➬✁✭✁➂✁➃. ❋☞✣☞✤☞✥☞✦✁✱✁❺✁❻✁❼ ❽☎◗☎❘➩ , ✧✁★✁✤✁✥☎→☎P☎➂☎➃☎❀☎❬☎❭➷ , ❯☎✾☎P☎ä☎❴☎❬☎❭➷☎Ñ☎Ò 0 ❀✁✢☎P☎➬☎✭☎➂☎➃✁✩✁✪☎➈ ➉☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ❍☎■✩☎✸✁✫☎ë☎➑☎✃☎❬☎❭➷ ✤✁✥✁✬✁✭☎➔✁✗☎➈☎➉☎✵Ñ ❀☎❬☎❭➷ , í☎îì ✟✁✮✁✯ ➩✁✰