例1：（简单的Monte Carlo积分）计算 -dr 的简单onte Carlo估计以及与积分值相比较. TExample m<-10000 x <-runif(m) theta.hat <-mean(exp(-x)) print(theta.hat) print(1 -exp(-1)) #[1]0.6355289 #[1]0.6321206 ↓Example 估计为0÷0.6355，而积分值为0=1-e-1÷0.6321. 若要计算9(x)d,此处a<b为有限数.则作一积分变量代换使得积分限 从0到1.即作变换y=(x-a)/(b-a),因此 9a= g(y(b-a)+a)(b-a)dy Previous Next First Last Back Forward 4
~1: ({¸Monte Carlo »©) Oé θ = Z 1 0 e −x dx {¸Monte CarloO±9Ü»©äÉ'. ↑Example m <- 10000 x <- runif(m) theta.hat <- mean(exp(-x)) print(theta.hat) print(1 - exp(-1)) #[1] 0.6355289 #[1] 0.6321206 ↓Example Oèθˆ .= 0.6355, »©äèθ = 1 − e−1 .= 0.6321. eáOé R b a g(x)dx, d?a < bèkÅÍ. Käò»©C˛ìܶ»©Å l01. =äCÜy = (x − a)/(b − a), œd Z b a g(x)dx = Z 1 0 g(y(b − a) + a)(b − a)dy Previous Next First Last Back Forward 4
另外一种做法就是利用均匀分布U(α，b),即 例2：简单Monte Carlo积分（续）计算 o-l erds 的Monte Carlo估计并和积分值相比较. TExample m<-10000 x <-runif(m,min=2,max=4) theta.hat <mean(exp(-x))*2 print(theta.hat) print (exp(-2)-exp(-4)) #[1]0.1172158 #[1]0.1170196 Previous Next First Last Back Forward 5
, ò´â{“¥|^˛!©ŸU(a, b), = Z b a g(x)dx = (b − a) Z b a g(x) 1 b − a dx ~2: {¸Monte Carlo »©(Y) Oé θ = Z 4 2 e −x dx Monte CarloOø⁄»©äÉ'. ↑Example m <- 10000 x <- runif(m, min=2, max=4) theta.hat <- mean(exp(-x)) * 2 print(theta.hat) print(exp(-2) - exp(-4)) #[1] 0.1172158 #[1] 0.1170196 Previous Next First Last Back Forward 5
即，估计的值为8÷0.1172，而真值为0=e-2-e-4÷0.1170. 总结一下，积分∫2g(x)dc的简单Monte Carlo估计方法为 1.从均匀分布U(a,b)中产生i.i.d样本X1,·,Xm 2.计算gm(X=品9(X) 3.a=(b-a)(gm(X)- 例3：Monte Carlo积分，无穷积分比如使用Monte Carlo积分方法计算标 准正态的分布函数 Φ()= =e-号t /2 首先我们不能直接使用以前的方法（因为积分区间无界），但是我们可以将 此问题分为两种情形：￡>0和x≤0.若x>0,注意到对标准正态分布，积分 Previous Next First Last Back Forward 6
↓Example =, Oäèθˆ .= 0.1172, ˝äèθ = e−2 − e−4 .= 0.1170. o(òe, »© R b a g(x)dx{¸Monte CarloOê{è 1. l˛!©ŸU(a, b)•)i.i.d X1, · · · , Xm; 2. Oégm(X) = 1 m g(Xi) 3. θˆ = (b − a)(gm(X)). ~3: Monte Carlo»©, 𻩠'X¶^Monte Carlo»©ê{OéI O©ŸºÍ Φ(x) = Z x −∞ 1 √ 2π e − t 2 2 dt. ƒk·ÇÿUܶ^±cê{(œè»©´mÃ.), ¥·Çå±Ú dØK©è¸´ú/: x > 0⁄x ≤ 0. e x > 0, 5øÈIO©Ÿ, »© Previous Next First Last Back Forward 6
区间可以分为(-0,0)和(0，)，因此只需要计算积分8=片e号d止即可.故 可以使用之前的方法.但是需要从均匀分布U(O,x)中抽取样本，若x发生变化， 则均匀分布也就变化了.若要求从U(0,1)中抽样，则可以作变换y=t/x,则 0=f se-(wdy 因此，0=Eyze-(xY)],其中Y~U(0,1).从而产生U(0,1)的ii.d随机 数u1,,,um,则的估计为 =gm=∑e-m2 n i1 此时对x>0,Φ(x)的估计为0.5+/√2；对x≤0，计算Φ(x)=1-(-x) TExample x<-seq(.1,2.5,1 ength=10) m<-10000 u <runif(m) Previous Next First Last Back Forward 7
´m屩è(−∞, 0)⁄(0, x),œdêIáO黩θ = R x 0 e − t 2 2 dt =å. 屶^Écê{. ¥Iál˛!©ŸU(0, x)•ƒ , exu)Cz, K˛!©Ÿè“Cz . eá¶lU(0, 1)•ƒ, Kå±äCÜy = t/x, K θ = Z 1 0 xe−(xy) 2 dy œd, θ = EY [xe−(xY ) 2 ], Ÿ•Y ∼ U(0, 1). l )U(0, 1)i.i.dëÅ Íu1, · · · , um, K θOè θˆ = gm(u) = 1 m Xm i=1 xe−(xu) 2 . dûÈx > 0,Φ(x)Oè0.5 + θ/ˆ √ 2π; Èx ≤ 0, OéΦ(x) = 1 − Φ(−x). ↑Example x <- seq(.1, 2.5, length = 10) m <- 10000 u <- runif(m) Previous Next First Last Back Forward 7
cdf <-numeric(length(x)) for (i in 1:length(x)){ g<-x[1]*exp(-(u*x[1])2/2) cdf [i]<-mean(g)/sqrt(2 pi)+0.5 Phi <-pnorm(x) print(round(rbind(x,cdf,Phi),3)) ↓Example 例4：Monte Carlo积分，无穷积分（续）对上例，我们可以使用另外一种方 式(hit-or-miss).记Z~N(0,1),则对任何实数x有 Φ(x)=P(Z≤x)=EI(Z≤x): 从而从标准正态中产生随机样本z1,·,之m后，即可得到Φ(x)的估计为 =e≤ 三1 Previous Next First Last Back Forward 8
cdf <- numeric(length(x)) for (i in 1:length(x)) { g <- x[i] * exp(-(u * x[i])^2 / 2) cdf[i] <- mean(g) / sqrt(2 * pi) + 0.5 } Phi <- pnorm(x) print(round(rbind(x, cdf, Phi), 3)) ↓Example ~4: Monte Carlo»©, ð»©(Y) È˛~, ·Ç屶^, ò´ê ™(hit-or-miss). PZ ∼ N(0, 1), KÈ?¤¢Íxk Φ(x) = P(Z ≤ x) = EI(Z ≤ x). l lIO•)ëÅ z1, · · · , zm, =åΦ(x)Oè Φ( ˆ x) = 1 m Xm i=1 I(zi ≤ x). Previous Next First Last Back Forward 8