4矢量函数的微积分 ()矢量函数的概念 常矢:模和方向都保持不变的矢量称为常矢。 变矢:模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。 ◆矢量函数:表示物理量的矢量一般都是一个或几个 (标量)变量的函数,叫矢量函数。例如,静电场 中的电场强度矢量,它的三个坐标分量一般也是xy 的函数,即 E(xy)=E(x:+E,+E:(:吧 1-29) 如果给定矢量场中任一点的坐标,式(1-29)就给 出该点的一个确定的矢量(电场强度
4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念 ❖ 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。 ❖ 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。 ❖ 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个 （标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电场 中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是 的函数，即 （1-29） ❖ 如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就给 出该点的一个确定的矢量（电场强度）。 x y z , , ( ) ( , , , , , , ) ( ) ( ) x x y y z z E e + e + e x, y,z E x y z E x y z E x y z =
二)矢量函数的导数 △F ◆矢量对空间坐标的导数 F(u) 设是单变量的矢量函数,它 F(△) 对的导数定义是 图1-12矢量微分示意图 dF △F F(l+△u)-F(n) =im da △->0 A→0 △ (1-30) 今这里假定此极限存在(即极限是单值的和有限的)。 如图1-4所示,在一般情况下,矢量的增量不一定与 dF 矢量的方向相同。如果F是一个常矢量;则d必等 于零。一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导, 就可得到F的二阶导数以及更高阶导数
（二）矢量函数的导数 ◆ 矢量对空间坐标的导数 ❖ 设是单变量的矢量函数，它 对 的导数定义是 （1-30） ❖ 这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的）。 如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不一定与 矢量的方向相同。如果 是一个常矢量；则 必等 于零。一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导， 就可得到 的二阶导数以及更高阶导数。 图 1-12 矢量微分示意图 F( ) u F( ) u u + F u ( ) ( ) 0 0 d lim lim d u u u u u u u → → − = = F F F + F Δu F d du F F
令如果/和F分别是变量的标量函数和矢量函数,则它 们之积的导数由式(1-30)可得 d(F)-1(f+4)(F+△F)-/F Im M0△a F四+四x 当M∞>0时,上式右端第三项趋向于零。因此 d(/F) f,+F d (1-31 ∫和F之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。 令如果F是多变量(如)的函数,则对一个变量的偏导数 的定义是 OF (u, u2,u)F( lin F(4+△,2)-F(412) m △ (1-32)
❖ 如果 和 分别是变量的标量函数和矢量函数，则它 们之积的导数由式（1-30）可得 当 时，上式右端第三项趋向于零。因此 （1-31） ❖ 和 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。 ❖ 如果 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数 的定义是 （1-32） f F ( ) ( )( ) 0 0 0 0 d lim lim lim lim d u u u u f f f f f f f u u u u u → → → → + − = = + + F F + F F F F F →u 0 d( ) d d d d d f f f u u u = + F F F f F F ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 0 1 1 , , , , , , lim u u u u u u u u u u u u u → + − = F F F
由式(1-32)可以证明 a(F)aF +F af (133) 对再次取偏微分又可以得到象m,0等等这样 一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数,则有 a2F OF yOu, au,au 在直角坐标系中,坐标单位矢量和都是常矢量,其 导数为零 利用式(1-50)有 ae a e.+ee+ee de aE de aE de aE E +e Ox t aE aE ex e
由式（1-32）可以证明 （1-33） 对 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等这样 一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数，则有 ❖ 在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其 导数为零。 ❖ 利用式（1-50）有 ( ) 1 1 1 f f f u u u = + F F F 1 u F 2 2 1 u F 2 1 2 u u F 2 2 1 2 2 1 u u u u = F F ( x x x y z z ) x x y y z z x x y y z z x y z x y z E E E x x E E E E E E x x x x x x E E E x x x = + + = + + + + + = + + E e e e e e e e e e e e e
结论:在直角坐标系中,矢量函数对某一坐标变量 的偏导数(或导数)仍然是个矢量,它的各个分量 等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数(或 导数)的矢量和。简单地说,只要把坐标单位矢量 提到微分号外就可以了 ◆在柱坐标和球坐标系中,由于一些坐标单位矢量不 是常矢量,在求导数时,不能把坐标单位矢量提到 微分符号之外。 令在柱坐标系中,各坐标单位矢量对空间坐标变量地 偏导数是 de de de de 二二—二 (1-34a) 00 (1-34b)
❖ 结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变量 的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个分量 等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数（或 导数）的矢量和。简单地说，只要把坐标单位矢量 提到微分号外就可以了。 ◆ 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不 是常矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到 微分符号之外。 ❖ 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地 偏导数是 （1-34a） （1-34b） 0 zzz z z z = = = = = = = e e e e eee = e e