式(1-16)可写为 F×dl=FFF|=0 展开上式,并根据零矢量的三个分量均为零的性质, 或两矢量平行的基本条件,可得 dx dy dz FFF (117) 这就是矢量线的微分方程。 【例1-1】设点电荷位于坐标原点,它在周围空间的 任一点所产生的电场强度矢量 e= r 4丌E 求E的矢量方程的通解
❖ 式（1-16）可写为 展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质， 或两矢量平行的基本条件，可得 （1-17） 这就是矢量线的微分方程。 ❖ 【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的 任一点所产生的电场强度矢量 求 的矢量方程的通解。 d d d d x y z F F F x y z x y z = = e e e F l 0 d d d x y z x y z F F F = = E r 3 4 0 r q = E
【解】 e= q (xe + ye +ze)=Ee +ee,+Ee 4元E 由式(1-17)化简后得矢量线微分方程 此方程的通解是 C =C y (C2为任意常数) 将此解综合,可以写为=Dx+Dy:(D,D为任意常 数)可以看出,电力线是一簇从点电荷所在点(原 点)向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形 象地描绘出点电荷电场的分布状况
【解】 由式（1-17）化简后得矢量线微分方程 此方程的通解是 （ 为任意常数） ❖ 将此解综合，可以写为 ：（ 为任意常 数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点（原 点）向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形 象地描绘出点电荷电场的分布状况。 3 0 ( ) 4 x y z x x y y z z q x y z E E E r E e e e e e e = + + = + + d d d d x y x y y z y z = = 1 2 y C x z C y = = 1 2 C C, 1 2 z D x D y = + 1 2 D D
3矢量代数运算 ↓假设两个矢量, A=Ae, +A e,+Ae. b=be+be +Be (1)矢量的和差 把两个矢量的对应分量相加或相减,就得到它们的 和或差,即 A+B=(4±B)21+(4±B,)e,+(A2±B)e (1-18) 冷(2)矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义,标量积(点乘)和矢量积 (叉乘)。 令◆标量积:AB是一标量,其大小等于两个矢量模值 相乘,再乘以它们夹角(取小角,即)的余弦 A B=ABCOSaar (1-19)
3 矢量代数运算 ❖ 假设两个矢量， ❖ (1) 矢量的和差 把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们的 和或差，即 （1-18） ❖ (2) 矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积 （叉乘）。 ❖ ◆ 标量积: 是一标量，其大小等于两个矢量模值 相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦： （1-19） A A A x x y y z z A e e e = + + B B B x x y y z z B e e e = + + ( ) ( ) ( ) A B A B A B x x x y y y z z z A B e e e = + + A B cos AB AB A B =
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律: A·B=B.A (120) A·B=AB+AB+AB (1-21 ◆矢量积:A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模 值相乘,再乘以它们夹角的正弦,实际就是与所形 成的平行四边行面积,其方向与A、乘右手螺旋 关系,为A、所在平面的右手法向: A×B= n absin a (1-22) 它不符合交换律。由定义知 (1-23) AxB=-B×4 并有 ex×=eXe,=e2xe2=0 (1-24) ex×ey=e2,ey×e2=ex,e2×ex
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律： （1-20） （1-21） ◆ 矢量积: 是一个矢量，其大小等于两个矢量的模 值相乘，再乘以它们夹角的正弦，实际就是与所形 成的平行四边行面积，其方向与 、 乘右手螺旋 关系，为 、 所在平面的右手法向： （1-22） 它不符合交换律。由定义知 （1-23） 并有 （1-24） A B B A = A B A B A B x x y y z z A B = + + A B A A B B sin A B n = AB AB A B B A = − 0 , , x x y y z z x y z y z x z x y = = = = = = e e e e e e e e e e e e e e e
AxB=(A e +A e,+Ae)x(B e,Be,+Be) AB.-AB)2+(AB-AB+(AB,-AB1(1-25) 各分量的下标次序具有规律性。(1-25)式可以写 成行列式 AxB=AA A BB B (126) ◆矢量的三重积:矢量的三连乘也有两种。 今标量三重积为 A(B×C)=B.(C×A)=C·(A×B) (1-27) 因为,的模值就是A与B所形成的平行四边行面积, 因此,C(AxB就是该平行四边行与C所构成的平行六 面体的体积。矢量三重积为 Ax(BxC)=B(A C)-C(A B (128) 冷上式右边为“BAC一CAB”,称为“ Back--Cab法
（1-25） 各分量的下标次序具有规律性。（1-25）式可以写 成行列式 （1-26） ◆ 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种。 ❖ 标量三重积为 （1-27） 因为，的模值就是 与 所形成的平行四边行面积， 因此， 就是该平行四边行与C所构成的平行六 面体的体积。矢量三重积为 （1-28） ❖ 上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z x x y y z z y z z y x z x x z y x y y x z A A A B B B A B A B A B A B A B A B = + + + + = − + − + − A B e e e e e e e e e x y z x y z x y z A A A B B B = e e e A B A B C B C A C A B = = ( ) ( ) ( ) A B C A B ( ) A B C B A C C A B = − ( ) ( ) ( )