式(1-80)中 Ro(Am.r）=Jo(Br）Y(B,nb)-Jo(Bnb)Yn(Bnr）(1-81） A)香 (1-82) An是方程Jo(Ba)Yo(Rb)-Jo(b)Y(Ra）=0的止根 (1·83) Z(7b,2）=cos72 (1-84) 1 7e+H2 N02(+H (1-85) 形是方程otannof=H的正根 (1-86) r,z,1)义可用格林函数表示为 9）-cr心 ·F(r',x)dxdr (1-87) 比较式(1-80)和式(1…87)可得 6re,l,a=22 台NRN(p ·R(B,m,r)(p,z） ·R(月n,r')Z(,之) (1-88) 以t-x代替式(1-88)中的t,则得格林函数为 G(rstir')= 》e+-动 台N(Rn)N(】 ·Ra(Bn,r)Z(7h,z) ·Ro(B,r')Z(,z) (1-89) 于是原问题的解为 T-5.c ·F(r',x')dx'dr 33 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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a2 .c N(B)N(o)Ro(BZ() ·Ra(Bm,r'）2(2,x')g(r',x',r)dz'(1-90) 1-17试用格林函数法求解如下实心圆柱体的热传导问题。 +}影++9= r dr 0≤r<b,0≤p≤2π，t>0 部+灯=0 r=b,t>0 T=0 t=0 (1-91) 解与上述实心圆柱体热传导式(1-91)相应的齐次问题为 +胖+影器 a di 0≤r<b,0≤p≤2π，t>0 2+9=0r=b,t>0 =F(r,p)t=0 (1·92) 式(1-92)的解为（见文献[1]例题3-11的解）》 )=0pr22& 2N(B .R.(Bmr)R.(Bco() ·F(r,9)dr 2x =j dol r'G(r,g,tlr'.g.r)l.=0 0 ·F(r',p')dr (1-93) 从而得 34 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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22 ·R.(Bn,rR(Bn,r')csv(p-g'） (1-94) 三空 ·R(3,r）R(B,r')c0sy(9-p) (1-95) 于是原问题的解为 款空0 ·R(Pm,r）·K,{An,r)cosu(p-p)] .g(r',g,z)dr' (1-96) 式中 R(Bn,r）=J(Bnmx 2 N(R)=J(Bb)`62(H+)- Am是方程BmJ'(Bb)+HU(Bmb)=0的正根 式(1-93)，(1-94)，(1-95)和式(1-96)中，当y=0时，系数1 应换成2示° 1·18一个实心球，0≤r≤b,初始时温度为(r):当时间 t>0时，球体产生热量，速率为g(r,t)单位为Wm3,而r=b的 边界面向温度为零度的环境以对流的方式传输热量，试求球体的 温度分布表达式。 解实心球热传导问题的数学描述为 1+s)=20≤<6t>0l 3-Hn=0 r=6,t>0 T=F(r) 0≤r≤b,t=0 35 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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足.是方程3 bcotB,b+bK=0的E根。 1·19试将以域为0≤7“和-m≤y≤∞，边界上温 度维持零度的格林函数写成区域为0≤x≤a与-∞≤y≤∞ 的·雏格林函数的乘积。 解区域为0r≤a,边界上温度维持为零的热传导问题 的格林函数为（见文献[1」中例题6-3的解） r)mprinr (-10) 式中风n三m严。 以域为-∞<y<∞的维无限大物体热传导问题的格林 数为（见文献[1]例题6-2） as.)=4a-rf-l (1-103)》 区域为0≤x≤a,-∞<y<∞，边界上温度维持为零的 二维热传导问题的格林函数可出式(1~102)和式(1-103)的乘积 求得 C(xy,tix,y,r)=G·G2=214a(t-t】是 ep-1cran眼r吸r 1-20设大地表面温度可近似地看做是以、·日为周期的余 弦函数，即 T=Awcosot 式中Aw是表面温度波幅，w是角频率。 设十骧可视为均质体，其导热系数为，导温系数为。求十 壤内的温度分布表达式。 解这是周期性变化的边界条件下求半无限大物体温度场 的问题，其数学抽述为 37 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
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- 0<x<o (1-104) T(0,1)=T.=Awcosout=0,t>0) 由于所求为周期状态下的温度场，这时初始温度分布的影响已经 消失，因此，可以任意假定一初始温度分布上(x),并求t→∞情 况下的解。即，假定初始条件为 T=F(x)t=0,0≤x<∞ (1-105) 式(1·104)可以采用多种方法求解。例如用杜哈美尔定理法（见文 献[1」例题5-1)，拉普拉斯变换法（见文献[1]例题7-14）等。这 里采用格林函数法求解如下。 为了求得式(1-104)的格林函数，考虑如下齐次问题 中=F(x)t=0,0≤x<∞ (1-106) 中-4w=0x=0,t>0 式(1-106)可以用分离变量法求解，所得结果为以下形式([1]： p.43,式(2-54) ,)=e √且✉0 N(B)X(B.x) J(B.)F(')dd (1-107) 查文献[1]中表2-3，可知式(1106)的特征陌数X(3.x)和范数 N()为 Xg,r=n,Na=子 (1108) 将式(1-108)代人式(1-107)后得 t)ingrsingr dedz' r,=0 3B=0 (1-109) 利用以下关系式 38 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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